\(\sqrt{x^2+2024}=\sqrt{x^2+xy+yz+zx}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}=\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\)

Tương tự: \(\sqrt{y^2+2024}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}\)

\(\sqrt{z^2+2024}\ge\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\)

Cộng vế:

\(P\ge\dfrac{2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)}{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{2024}{3}\)

Ta chứng minh:  \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

Thật vậy \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\forall x,y,z\)

\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\left(đpcm\right)\)

Áp dụng BĐT Svacxo, ta có:

\(\text{ Σ}_{cyc}\frac{1}{1+xy}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+xy+yz+zx}=\frac{9}{3+xy+yz+zx}\)

\(\ge\frac{9}{3+x^2+y^2+z^2}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=1\))

Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

Do \(x^2+y^2+z^2\le3\)

\(\Rightarrow3\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow1\ge xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow4\ge xy+yz+xz+3\)

\(\Rightarrow\frac{9}{4}\le\frac{9}{3+xy+xz+yz}\left(1\right)\)

Ta có : \(C=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\)

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số

\(\Rightarrow C=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\ge\frac{9}{3+xy+yz+xz}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) 

\(\Rightarrow C=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\ge\frac{9}{4}\)

Vậy \(C_{min}=\frac{9}{4}\)

Dấu " =" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{1}{3}}\)

Chúc bạn học tốt !!!

Ta chứng minh BĐT sau:

Ta có: \(x\left(3-4x^2\right)=-4x^3+3x-1+1=1-\left(x+1\right)\left(2x-1\right)^2\le1\)

\(\Rightarrow\dfrac{4x^2}{x\left(3-4x^2\right)}\ge\dfrac{4x^2}{1}=4x^2\)

Tương tự và cộng lại:

\(Q\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+zx\right)=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)

Luôn có \(\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-x\right)^2\ge0\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+xz\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge xy+yz+xz\ge-1\)

\(P_{min}=-1\)dấu "=" sảy ra khi (x,y,z) là hoán vị của 3 phần tử (0,0,-1)

Ta có:

\(xy+yz+zx=-1\)

\(\Leftrightarrow2\left(xy+yz+zx\right)=-2\)

\(\Leftrightarrow2\left(xy+yz+zx\right)+x^2+y^2+z^2=-2+x^2+y^2+z^2\)

\(\Leftrightarrow P=x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2+2\ge2\)

Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y+z=0\\xy+yz+zx=-1\end{cases}}\)

Chỉ ra 1 bộ số thỏa mãn cái đấy nhé là: \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\\z=-1\end{cases}}\)

Bộ số mà mình nhắc đến là (x; y; z) = (0; 1; - 1) nhé. Do nó bị lỗi bài giải nên mất.

\(\dfrac{xy}{x+y}=\dfrac{yz}{y+z}=\dfrac{zx}{z+x}\\ \Rightarrow\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{z+x}{zx}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}\\ \Rightarrow x=y=z\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{x^2+x^2+x^2}{x^2+x^2+x^2}=1\)