a: Xét tứ giác ABEC có

D là trung điểm chung của AE và BC

nên ABEC là hình bình hành

=>AC//BE và AB//CE

b: Xét ΔAHD vuông tại H và ΔEKD vuông tại K có

DA=DE

góc ADH=góc EDK

Do đo: ΔAHD=ΔEKD

=>AH=KE

c: Xét tứ giác AMEN có

AM//EN

AM=EN

Do đó: AMEN là hình bình hành

=>AE cắtMN tại trung điểm của mỗi đường

=>M,K,N thẳng hàng

Xét tam giác ACD và tam giác MBD có:

      AD = DM (gt)

      BD = DC (gt)

   \(\widehat{BDM}\) = \(\widehat{ADC}\) (hai góc đối đỉnh)

⇒ \(\Delta\)ACD = \(\Delta\) MBD  (c-g-c)

Xét tứ giác ABMC có

     AD = DM

      BD = DC

⇒ tứ giác ABMC  là hình bình hành vì tứ giác có hai đường chéo căt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành.

⇒ AC // BM

⇒ \(\widehat{ABM}\) = \(\widehat{MCA}\) (vì tứ giác ABMC là hình bình hành)

 xét tam giác ACD và tam giác MBD có 

AD=DM [ gt ]

BD=DC[ gt ]

BDM = ADC hai góc đối đỉnh

suy ra tam giác ACD= tam giác MBD [ c-g-c]

xét tứ giác ABMC có

AD = DM

BD=DC

suy ra tứ giác ABMC là hình bình hành vì tứ giác  có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành

suy ra ABM=MCA vì tứ giác ABMC là hình bình hành .

1.Ta có: AB = AC `=>` Tam giác ABC cân 

Xét tam giác ABD và tam giác ACD, có:

AB = AC ( gt )

BD = CD ( gt )

AD: cạnh chung

Vậy tam giác ABD = tam giác ACD ( c.c.c )

Xét tam giác ABC có AB = AC `=>` Tam giác ABC cân

Mà AD là đường trung tuyến `=>` AD cũng là đường cao

`=>` AD vuông góc BC

2. Xét tam giác ADC và tam giác EDB, có:

BD = CD ( gt)

\(\widehat{BDE}=\widehat{ADC}\) ( đối đỉnh )

AD = ED ( gt )

Vậy tam giác ADC = tam giác EDB ( c.g.c )

`=>` \(\widehat{DAC}=\widehat{DEB}\)

`=>` AC // BE ( so le trong )

3. Xét tam giác AMD và tam giác AND, có:

AM = AN ( gt )

\(\widehat{MAD}=\widehat{NAD}\) (tam giác ABC cân, AD là đường cao cũng là phân giác )

AD: chung

Vậy tam giác AMD = tam giác AND ( c.g.c )

\(\Rightarrow\widehat{AMD}=\widehat{AND}=90^o\)

\(\Rightarrow DN\perp AC\) (1)

Ta có: \(DK\perp BE\) ( gt )  (2)

mà BE // AC  (3)

(1);(2);(3) `=>` N,D,K thẳng hàng

1.Ta có: AB = AC `=>` Tam giác ABC cân 

Xét tam giác ABD và tam giác ACD, có:

AB = AC ( gt )

BD = CD ( gt )

AD: cạnh chung

Vậy tam giác ABD = tam giác ACD ( c.c.c )

Xét tam giác ABC có AB = AC `=>` Tam giác ABC cân

Mà AD là đường trung tuyến `=>` AD cũng là đường cao

`=>

 c) Do M là trung điểm của BC (gt)

⇒ BM = MC

Xét hai tam giác vuông: ∆AHM và ∆DKM có:

MA = MD (gt)

∠AMH = ∠DMK (đối đỉnh)

⇒ ∆AHM = ∆DKM (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ HM = KM (hai cạnh tương ứng)

Ta có:

BK = BM + KM

CH = CM + HM

Mà BM = CM (cmt)

KM = HM (cmt)

⇒ BK = CH

d) Tứ giác ABDC có:

M là trung điểm của BC (gt)

M là trung điểm của AD (gt)

⇒ ABDC là hình bình hành

⇒ AB // DC và AB = DC

Tứ giác ABCE có:

I là trung điểm của AC (gt)

I là trung điểm của BE (gt)

⇒ ABCE là hình bình hành

⇒ AB // CE và AB = CE

Do AB // CE (cmt)

AB // DC (cmt)

⇒ C, D, E thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clít)

Ta có:

AB = CE (cmt)

AB = DC (cmt)

⇒ CD = CE

⇒ C là trung điểm của DE

Xét ΔMAH và ΔMCE có

MA=MC

\(\widehat{AMH}=\widehat{CME}\)(hai góc đối đỉnh)

MH=ME

Do đó: ΔMAH=ΔMCE

=>AH=CE

a: Xét ΔABD và ΔMCD có 

DA=DM

\(\widehat{ADB}=\widehat{MDC}\)

DB=DC
Do đó: ΔABD=ΔMCD

b: Xét ΔAHD vuông tại H và ΔMKD vuông tại K có

DA=DM

\(\widehat{ADH}=\widehat{MDK}\)

Do đó: ΔAHD=ΔMKD

Suy ra: AH=MK