Lời giải:

Ta thấy:

$10x\equiv 0\pmod 5$

$288\equiv 3\pmod 5$

$\Rightarrow y^2\equiv 3\pmod 5$ (vô lý)

Do ta biết rằng một số chính phương khi chia cho $5$ chỉ có thể có dư là $0,1,4$.

Như vậy, không tồn tại số tự nhiên $x,y$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

\(\Rightarrow2^y\left(2^{x-y}+1\right)=72\)

Vì \(2^{x-y}+1\) lẻ nên \(2^y\left(2^{x-y}+1\right)=72=2^3\cdot9\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\\2^{x-3}+1=9\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\\2^{x-3}=8=2^3\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=3\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(6;3\right)\)

Ta có \(2^x-2^y=1024\Rightarrow x>y\)

Do đó \(2^y\left(2^{x-y}-1\right)=2^{10}\)

Lại có \(2^{x-y}-1\) lẻ và là ước 10 nên \(2^{x-y}-1=1\Rightarrow2^y=2^{10}\)

\(\Rightarrow y=10\Rightarrow2^{x-10}=2^1\Rightarrow x=11\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(11;10\right)\)