`a)` Tỉ số lượng giác góc `B` của \(\Delta ABC\)

\(SinB=\dfrac{AC}{BC}\\ CosB=\dfrac{AB}{BC}\\ TanB=\dfrac{AC}{AB}\\ CotB=\dfrac{AB}{AC}\)

`b)` Tính `BC,AH`

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại `A`, đường cao `AH`

Ta có: \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\left(htl\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{8^2}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{25}{576}\\ \Rightarrow AH^2=\dfrac{576\cdot1}{25}=23,04\\ \Rightarrow AH=\sqrt{23,04}=4,8cm\)

Ta có: \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\left(htl\right)\)

\(\Rightarrow6\cdot8=4,8\cdot BC\\ \Rightarrow48=4,8\cdot BC\\ \Rightarrow BC=\dfrac{48}{4,8}\\ \Rightarrow BC=10cm\)

Vậy: `AH = 4,8cm; BC= 10cm`

`c)` C/m: `AE * AB = AF * AC`

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại `H`, đường cao `HE`

Ta có: \(AH^2=AE\cdot AB\left(htl\right)\)     `(1)`

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại `H`, đường cao `HF`

Ta có: \(AH^2=AF\cdot AC\left(htl\right)\)     `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` \(\Rightarrow AH^2=AH^2\)

\(\Rightarrow AE\cdot AB=AF\cdot AC\left(=AH^2\right).\)

Δ ABC vuông tại A đường cao AH
⇒BH.CH=\(AH^2\)⇒AH=\(\sqrt{9\cdot16}\)=12 cm
BC=CH+BH=9+16=25 cm
\(AB^2\)=BH.BC=9.25=225⇒AB=15 cm
\(AC^2\)=CH.BC=16.25=400⇒AC=20 cm
Ta có:góc A=góc E =góc D=90 nên tứ giác ADHE là hcn
⇒góc AED=góc AHD (1)
lại có:góc AHD=góc ABC (cùng phụ với góc DHB) (2)
Từ (1) và (2) suy ra góc AED = góc ABC
Xét Δ AED và Δ ABC có 
góc A chung 
góc AED = góc ABC (cmt)
Nên Δ AED = Δ ABC 
⇒\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}\)⇔AE.AC=AB.AD

c: Xét ΔABH vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔACH vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

ta có

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)

\(a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

Ta có AH²=CH.BH=ab (1)

Gọi M là trung điểm của BC.

Xét tam giác AHM vuông tại H có AM là cạnh huyền --> AH\(\le\)AM (2)

Mà \(AM=\frac{BC}{2}=\frac{a+b}{2}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow a.b\le\frac{a+b}{2}\)

Ở trên nhầm: AH²=ab\(\Rightarrow AH=\sqrt{ab}\)

Kết hợp (1), (2) và (3) \(\Rightarrow\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC;AB^2=BH\cdot BC;AC^2=CH\cdot CB\)

=>\(AH=\sqrt{9\cdot25}=15\left(cm\right);AB=\sqrt{9\cdot34}=3\sqrt{34}\left(cm\right);AC=\sqrt{25\cdot34}=5\sqrt{34}\left(cm\right)\)

b: Xét tứ giác AEHF có

góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ

=>AEHF là hình chữ nhật

ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao

nên AE*AB=AH^2

=>AE*3căn 34=15^2

=>\(AE=\dfrac{75}{\sqrt{34}}\left(cm\right)\)

ΔHAC vuông tại H có HF là đường cao

nên AF*AC=AH^2

=>\(AF=\dfrac{15^2}{5\sqrt{34}}=\dfrac{45}{\sqrt{34}}\left(cm\right)\)

\(S_{AEHF}=AE\cdot AF=\dfrac{45\cdot75}{34}=\dfrac{3375}{34}\left(cm^2\right)\)

c: góc AEH+góc AFH=180 độ

=>AEHF nội tiếp

a) Ta có: \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{HB.HC}{HC^2}=\dfrac{HA^2}{HC^2}=\left(\dfrac{HA}{HC}\right)^2\)

Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta BAC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AHC=\angle BAC=90\\\angle ACBchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AHC\sim\Delta BAC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{AB}{AC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{HB}{HC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\dfrac{c^2}{b^2}\)

b) tham khảo ở đây:https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-dabc-vuong-tai-a-duong-cao-ah-goi-e-f-lan-luot-la-cac-hinh-chieu-cua-h-tren-ab-va-ac-cmra-aeabaf.1150118751274

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

\(AB^2=BH.BC\)

\(AC^2=CH.CB\)

\(\Rightarrow\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{c^2}{b^2}\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

\(BH^2=BE.BA\)

\(CH^2=CF.CA\)

\(\Rightarrow\dfrac{BH^2}{CH^2}=\dfrac{BE}{CF}.\dfrac{BA}{CA}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{c^4}{b^4}=\dfrac{BE}{CF}.\dfrac{c}{b}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BE}{CF}=\dfrac{c^3}{b^3}\)