cho đường tròn (O) và(O') cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A,B. Gọi I là trung điểm của AB. Vẽ đường kính AC của (O). CMR:AI.BC=AB.OI
Những câu hỏi liên quan
5 tháng 12 2023 lúc 21:09
Cho đường tròn tâm O đường kính AB 2R. Gọi C là 1 điểm bất kì thuộc đường tròn (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại A và C cắt nhau tại E.a) Cm AC vuông góc OE.b) Vẽ CM ⊥ AB (M ∈ AB), vẽ CN ⊥ AE (N ∈ AE). Gọi I là trung điểm của MN. Cm O, I, E thẳng hàng.c) Gọi K là giao điểm của EB và CM. Cm K là trung điểm CM.d) Tìm vị trí của điểm C trên đường tròn (O) để ∆ACB có diện tích lớn nhất.
Đọc tiếp
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là 1 điểm bất kì thuộc đường tròn (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại A và C cắt nhau tại E.
a) Cm AC vuông góc OE.
b) Vẽ CM ⊥ AB (M ∈ AB), vẽ CN ⊥ AE (N ∈ AE). Gọi I là trung điểm của MN. Cm O, I, E thẳng hàng.
c) Gọi K là giao điểm của EB và CM. Cm K là trung điểm CM.
d) Tìm vị trí của điểm C trên đường tròn (O) để ∆ACB có diện tích lớn nhất.
a: Xét (O) có
EA,EC là tiếp tuyến
Do đó: EA=EC
=>E nằm trên đường trung trực của AC(1)
Ta có: OA=OC
=>O nằm trên đường trung trực của AC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OE là đường trung trực của AC
=>OE\(\perp\)AC tại trung điểm của AC
b: Xét tứ giác NCMA có
\(\widehat{CNA}=\widehat{CMA}=\widehat{MAN}=90^0\)
=>NCMA là hình chữ nhật
=>NM cắt CA tại trung điểm của mỗi đường
mà I là trung điểm của NM
nên I là trung điểm của CA
Ta có: OE vuông góc AC tại trung điểm của AC(cmt)
mà I là trung điểm của AC
nên OE\(\perp\)AC tại I
=>O,I,E thẳng hàng
c: Gọi giao điểm của CB với AN là F
Ta có: CM\(\perp\)AB
FA\(\perp\)AB
Do đó: CM//FA
Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại C
=>AC\(\perp\)BC tại C
=>AC\(\perp\)FB tại C
=>ΔACF vuông tại C
Xét ΔEAC có EA=EC
nên ΔEAC cân tại E
=>\(\widehat{EAC}=\widehat{ECA}\)
Ta có: \(\widehat{EAC}+\widehat{EFC}=90^0\)(ΔACF vuông tại C)
\(\widehat{ECA}+\widehat{ECF}=\widehat{ACF}=90^0\)
mà \(\widehat{EAC}=\widehat{ECA}\)
nên \(\widehat{EFC}=\widehat{ECF}\)
=>EF=EC
mà EA=EC
nên EF=EA(3)
Xét ΔEAB có KM//AE
nên \(\dfrac{KM}{AE}=\dfrac{BK}{BE}\left(4\right)\)
Xét ΔBFE có CK//FE
nên \(\dfrac{CK}{FE}=\dfrac{BK}{BE}\left(5\right)\)
Từ (3),(4),(5) suy ra \(\dfrac{KM}{AE}=\dfrac{CK}{FE}\)
mà AE=FE
nên KM=CK
=>K là trung điểm của CM
Đúng 1
Bình luận (0)
CHo 2 đoạn thẳng AB,AC vuông góc với nhau (ABAC).Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB và đường tròn tâm O đường kính AC. Gọi D là giao điểm thứ 2 của 2 đường tròn đóa, chứng minh 3 điểm B,D,C thẳng hàngb, gọi giao điểm của OO và cung tròn AD của (O) là N. Chứng minh AN là tia phân giác của góc DACc, tia AN cắt đường tròn tâm O tại M, gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh tứ giác AOOI nội tiếp đường tròn
Đọc tiếp
CHo 2 đoạn thẳng AB,AC vuông góc với nhau (AB<AC).Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB và đường tròn tâm O' đường kính AC. Gọi D là giao điểm thứ 2 của 2 đường tròn đó
a, chứng minh 3 điểm B,D,C thẳng hàng
b, gọi giao điểm của OO' và cung tròn AD của (O) là N. Chứng minh AN là tia phân giác của góc DAC
c, tia AN cắt đường tròn tâm O' tại M, gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh tứ giác AOO'I nội tiếp đường tròn
Hai đường tròn (O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và B. Vẽ đường kính AC của (O) và đường kính AD của (O’)
a) Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng
b) Gọi I là trung điểm của OO’. Qua A vẽ cát tuyến vuông góc với IA cắt (O) tại M, cắt (O’) tại N. Chứng minh AM = AN
c) AI kéo dài cắt CD tại K. Chứng minh K là trung điểm của CD
Câu 1: Cho (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC của (O) (B,C: tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ADE của (O); D nằm giữa D & E; tia AD nằm giữa 2 tia AB và AO.a) Gọi H là giao điểm của OA và BC. C/m: DEOH nội tiếpb) Đường thẳng AO cắt (O) tại M và N (M nằm giữa A và O). C/m: EH.AD MH.ANCâu 2: Cho nửa đường tròn tâm (O;R) đường kính AB và điểm C trên đường tròn sao cho CACB. Gọi M là trung điểm của dây cung AC. Nối BM cắt cung AC tại E; AE và BC kéo dài cắt nhau tại D.a) C/m: MO...
Đọc tiếp
Câu 1: Cho (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC của (O) (B,C: tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ADE của (O); D nằm giữa D & E; tia AD nằm giữa 2 tia AB và AO.
a) Gọi H là giao điểm của OA và BC. C/m: DEOH nội tiếp
b) Đường thẳng AO cắt (O) tại M và N (M nằm giữa A và O). C/m: EH.AD= MH.AN
Câu 2: Cho nửa đường tròn tâm (O;R) đường kính AB và điểm C trên đường tròn sao cho CA=CB. Gọi M là trung điểm của dây cung AC. Nối BM cắt cung AC tại E; AE và BC kéo dài cắt nhau tại D.
a) C/m: MOCD là hình bình hành
b) Vẽ đường tròn tâm E bán kính EA cắt (O) tại điểm thứ 2 là N. Kẻ EF vuông góc với AC, EF cắt AN tại I, cắt (O) tại điểm thứ 2 là K; EB cắt AN tại H. C/m: BHIK nội tiếp.
Câu 3: Cho (O;R). Từ điểm S nằm ngoài đường tròn sao cho SO=2R. Vẽ tiếp tuyến SA,SB (A,B là tiếp tuyến). Vẽ cát tuyến SDE (D nằm giữa S và E), điểm O nằm trong góc ESB. Từ O kẻ đường vuông góc với OA cắt SB tại M. Gọi I là giao điểm của OS và (O).
a) C/m: MI là tiếp tuyến của (O)
b) Qua D kẻ đường vuông góc với OB cắt AB tại H và EB tại K. C/m: H là trung điểm của DK.
Cho đường tròn (O) đường kính AC, điểm B nằm giữa hai điểm O và C. Vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Từ M vẽ dây cung DE của đường tròn (O) vuông góc với AB; DC cắt đường tròn tâm O’ tại I. Chứng minh:1. Tứ giác ADBE là hình thoi.2. Tứ giác DMBI nội tiếp đường tròn (4 điểm D, M, B, I nằm trên cùng một đường tròn).3. MC.DB MI.DC.4. MI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Đọc tiếp
Cho đường tròn (O) đường kính AC, điểm B nằm giữa hai điểm O và C. Vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Từ M vẽ dây cung DE của đường tròn (O) vuông góc với AB; DC cắt đường tròn tâm O’ tại I. Chứng minh:
1. Tứ giác ADBE là hình thoi.
2. Tứ giác DMBI nội tiếp đường tròn (4 điểm D, M, B, I nằm trên cùng một đường tròn).
3. MC.DB = MI.DC.
4. MI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Cho đường tròn (O) đường kính AC, điểm B nằm giữa hai điểm O và C. Vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Từ M vẽ dây cung DE của đường tròn (O) vuông góc với AB; DC cắt đường tròn tâm O’ tại I. Chứng minh:1. Tứ giác ADBE là hình thoi.2. Tứ giác DMBI nội tiếp đường tròn (4 điểm D, M, B, I nằm trên cùng một đường tròn).3. MC.DB MI.DC.4. MI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Đọc tiếp
Cho đường tròn (O) đường kính AC, điểm B nằm giữa hai điểm O và C. Vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Từ M vẽ dây cung DE của đường tròn (O) vuông góc với AB; DC cắt đường tròn tâm O’ tại I. Chứng minh:
1. Tứ giác ADBE là hình thoi.
2. Tứ giác DMBI nội tiếp đường tròn (4 điểm D, M, B, I nằm trên cùng một đường tròn).
3. MC.DB = MI.DC.
4. MI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ một đường thẳng đi qua $A$ và không đi qua $O$, cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ ($M$ nằm giữa $A$ và $N$). Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ với $(O)$ ($B$, $C$ là hai tiếp điểm). Đường thẳng $BC$ cắt $AO$ tại $H$. Gọi $I$ là trung điểm của $MN$. Đường thẳng $OI$ cắt đường thẳng $BC$ tại $E$. Chứng minh $AHIE$ là tứ giác nội tiếp.
Đọc tiếp
Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ một đường thẳng đi qua $A$ và không đi qua $O$, cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ ($M$ nằm giữa $A$ và $N$). Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ với $(O)$ ($B$, $C$ là hai tiếp điểm). Đường thẳng $BC$ cắt $AO$ tại $H$. Gọi $I$ là trung điểm của $MN$. Đường thẳng $OI$ cắt đường thẳng $BC$ tại $E$. Chứng minh $AHIE$ là tứ giác nội tiếp.
Ta có
\(AB=AC\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì khoảng cách từ điểm đó đến hai tiếp điểm bằng nhau)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A (1)
AO là phân giác của \(\widehat{BAC}\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm của đường tròn là phân iacs của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AH\perp BC\) (Trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao, đường trung trực...)
\(\Rightarrow\widehat{AHE}=90^o\) (*)
Ta có
\(OM=ON\) (Bán kính (O)) \(\Rightarrow\Delta OMN\) cân tại O
Ta có \(IM=IN\) (Giả thiết) => ON là đường trung tuyến của tg OMN
\(\Rightarrow OE\perp AN\) (Trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao, đường trung trực...)
\(\Rightarrow\widehat{AIE}=90^o\) (**)
Từ (*) và (**) => I và H cùng nhìn AE dưới hai góc bằng nhau và bằng 90 độ => I và H nằm trên đường tròn đường kính AE nên 4 điểm A;H;I;E cùng nằm trên 1 đường tròn
Cho đường tròn tâm bán kính và một điểm nằm ngoài đường tròn. Kẻ một đường thẳng đi qua và không đi qua , cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt , ( nằm giữa và ). Từ vẽ hai tiếp tuyến và với (, là hai tiếp điểm). Đường thẳng cắt tại . Gọi là trung điểm của . Đường thẳng cắt đường thẳng tại . Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
theo gt, ta co:
là trung điểm của
Cho đường tròn tâm O và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) với B, C là hai tiếp điểm. Vẽ đường kính BD của đường tròn (O), AD cắt (O) tại E. Gọi H là giao điểm của OA và BC, K là trung điểm của ED. a) Chứng minh: A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn và OA vuông góc với BC. b) Chứng minh: AE.AD AC c) Vẽ OK và cắt BC tại F. Chứng minh: FD là tiếp tuyến của đường tròn
Đọc tiếp
Cho đường tròn tâm O và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) với B, C là hai tiếp điểm. Vẽ đường kính BD của đường tròn (O), AD cắt (O) tại E. Gọi H là giao điểm của OA và BC, K là trung điểm của ED. a) Chứng minh: A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn và OA vuông góc với BC. b) Chứng minh: AE.AD = AC c) Vẽ OK và cắt BC tại F. Chứng minh: FD là tiếp tuyến của đường tròn
a: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
nên AB=AC
mà OB=OC
nên OA là trung trực của BC
Xét tứ giác OBAC có
góc OBA+góc OCA=180 độ
nên OBAC là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔAEC và ΔACD có
gó ACE=góc ADC
góc EAC chung
Do đo: ΔAEC đồng dạng với ΔACD
=>AE/AC=AC/AD
=>AC^2=AE*AD
Đúng 1
Bình luận (0)
cho 2 đường tròn (O;20cm) và (O';15cm) cắt nhau tại A ;B sao cho AB=24cm và (O);(O') nằm về 2 phía của AB .vẽ đường kính AC của O ; đường kính AD của O'. a) chứng minh C;B;D thẳng hàng b) tính OO' c) gọi EF là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn .chứng minh AB ĐI QUA TRUNG ĐIỂM CỦA EF (giúp câu c với)