ok

a) Xét tam giác  ADB có: 

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AH}{AD}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow HE//DB\left(1\right)\)( định lý Ta-let đảo )

Xét tam giác CDB có:

\(\frac{CF}{CB}=\frac{CG}{CD}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow GF//BD\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow HE//GF\)

CMTT\(HG//EF\)( cùng // AC)

Xét tứ giác EFGH có:

\(\hept{\begin{cases}HE//GF\left(cmt\right)\\HG//EF\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow EFGH}\)là hình bình hành (dhnb)

b) 

Đặt\(\frac{AE}{AB}=\frac{AH}{AD}=\frac{CF}{CB}=\frac{CG}{CD}=k\)

Xét tam giác ADB có:

\(HE//BD\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{HE}{BD}=\frac{AE}{AB}\)( hệ quả của định lý Ta-let)

\(\Rightarrow\frac{HE}{BD}=k\)( vì \(\frac{AE}{AB}=k\))

\(\Rightarrow HE=k.BD\)

Xét tam giác ABC có:

\(EF//AC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}\)( hệ quả của định lý Ta-let)

\(\Rightarrow\frac{EF}{AC}=\frac{AB-AE}{BA}=1-k\)

\(\Rightarrow EF=\left(1-k\right)AC\)

\(P_{EFGH}=2\left(HE+EF\right)\)

\(=2\left[k.BD+\left(1-k\right)AC\right]\)

\(=2AC\)không đổi  ( AC=BD do ABCD là hình chữ nhật )

Vậy chu vi của hbh EFGH có giá trị không đổi 

bạn bảo châu ơi

a: Xét ΔAEH vuông tại A và ΔCGF vuông tại C có

AE=CG

AH=CF

Do đó: ΔAEH=ΔCGF

=>EH=GF

Xét ΔEBF vuông tại B và ΔGDH vuông tại D có

BE=GD

BF=DH

Do đó: ΔEBF=ΔGDH

=>EF=GH
Xét tứ giác EHGF có

EH=FG

EF=GH

DO đó: EHGF là hình bình hành

b: Xét tứ giác AECG có

AE//CG

AE=CG

Do đó: AECG là hình bình hành

Suy ra: AC cắt EG tại trung điểm của mỗi đường(1)

Vì ABCD là hình bình hành

nên AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)

Vì EFGH là hình bình hành

nên EG cắt FH tại trung điểm của mỗi đường(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AC,BD,EG,HF đồng quy

Từ các hệ Thức trên ta dễ dàng có HE//BD//FG(1)

Suy ra \(\frac{AE}{AB}=\frac{AH}{AD}=\frac{CF}{CB}=\frac{CG}{CD}=\frac{HE}{BD}=\frac{FG}{BD}=k\Rightarrow HE=FG\)(2)

Từ (1) và (2) có ĐPCM

b/Ta cx dễ dàng chứng minh đc \(\frac{EG}{AC}=\frac{HF}{AC}=\)\(\frac{EB}{AB}=\frac{AB}{AB}-\frac{AE}{AB}=1-k\)

Ta thấy HE,FG tỉ lệ thuận BD =k

EG,HF tỉ lệ thuận AC =1-k

Mà AC,BD cố định suy ra Các cạnh của HBH cố định, suy ra Chu vi cx cố định