\(n^3+2012n=n\left(n^2+2012\right)\)

- Nếu \(n=3k\Rightarrow\left(n^3+2012n\right)⋮3\)

- Nếu \(n=3k+1\Rightarrow n^2+2012=9k^2+6k+2013⋮3\)

\(\Rightarrow\left(n^3+2012n\right)⋮3\)

- Nếu \(n=3k+2\Rightarrow n^2+2012=9k^2+12k+2016⋮3\)

\(\Rightarrow\left(n^3+2012n\right)⋮3\)

\(\Rightarrow\left(n^3+2012n\right)⋮3\) \(\forall n\in Z\) (1)

Mặt khác ta có:

\(2014\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow2014^{2014}\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow2014^{2014}+1\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow\left(2014^{2014}+1\right)⋮̸3\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Yêu cầu và điều kiện đề bài là gì vậy bạn? Bạn cần ghi đầy đủ đề để được hỗ trợ tốt hơn.

n chẵn nên  đặt \(n=2k\)

\(n^3+2012n=8k^3+2012\cdot2k\)

\(8k^3+4024k\)

\(=8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)+4032k\)

Mà \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)⋮6\Rightarrow8\left(k-1\right)\left(k+1\right)k⋮48;4032k⋮48\)

\(\Rightarrowđpcm\)

m(n+3)=5n−3

⇔m(n+3)=5n−3

⇒m=5n−3/n+3 Vì m là số tự nhiên nên 5n−3/n+3 cũng phải là số tự nhiên

⇒5n−3⋮n+3

⇒5(n+3)−18⋮n+3

⇒18⋮n+3⇒n+3∈Ư(18)Vì n+3≥3

⇒n+3∈{3;6;9;18}

⇒n∈{0;3;6;15}

Tương ứng ta thu được m ∈ {−1;2;3;4}m∈{−1;2;3;4}

Vì m,n đều là số tự nhiên nên ta thấy chỉ có các cặp (m,n)=(2,3);(3,6);(4,15) thỏa mãn

      \(m.n+3m=5n-3\)
\(\Leftrightarrow m\left(n+3\right)=5n-3\)
\(\Leftrightarrow m=\left(5n-3\right):\left(n+3\right)\)
\(\Leftrightarrow m=\left(5n+15\right):\left(n+3\right)-18:\left(n+3\right)\)
\(\Leftrightarrow m=\left[5\left(n+3\right)\right]:\left(n+3\right)-18:\left(n+3\right)\)
\(\Leftrightarrow m=5-18:\left(n+3\right)\)
\(\Leftrightarrow18=\left(5-m\right)\left(n+3\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(5-m;n+3\right)\in\left\{\left(1;18\right);\left(2;9\right);\left(3;6\right);\left(6;3\right);\left(9;2\right);\left(18;1\right)\right\}\)
\(\Leftrightarrow\left(m;n\right)\in\left\{\left(4;15\right);\left(3;6\right);\left(2;3\right);\left(-1;0\right);\left(-4;-1\right);\left(-13;-2\right)\right\}\)
       Mà \(m\), \(n\inℕ\)nên:
       \(\left(m;n\right)\in\left\{\left(4;15\right);\left(3;6\right);\left(2;3\right)\right\}\).

Lời giải:

Tổng độ dài đáy lớn và đáy bé là:

$\frac{1}{12}\times 2: \frac{1}{3}=\frac{1}{2}$ 

Đáy bé = 80% = $\frac{4}{5}$ đáy lớn

Tổng số phần bằng nhau: $4+5=9$ (phần)

Đáy bé là: $\frac{1}{2}: 9\times 4=\frac{2}{9}$ (m)

Đáy lớn là: $\frac{1}{2}: 9\times 3=\frac{1}{6}$ (m)