Question

Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n thỏa mãn : \(\left(2014^{2014}+1\right)\)chia hết cho n³+2012n

Answer 1

\(n^3+2012n=n\left(n^2+2012\right)\)

- Nếu \(n=3k\Rightarrow\left(n^3+2012n\right)⋮3\)

- Nếu \(n=3k+1\Rightarrow n^2+2012=9k^2+6k+2013⋮3\)

\(\Rightarrow\left(n^3+2012n\right)⋮3\)

- Nếu \(n=3k+2\Rightarrow n^2+2012=9k^2+12k+2016⋮3\)

\(\Rightarrow\left(n^3+2012n\right)⋮3\)

\(\Rightarrow\left(n^3+2012n\right)⋮3\) \(\forall n\in Z\) (1)

Mặt khác ta có:

\(2014\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow2014^{2014}\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow2014^{2014}+1\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow\left(2014^{2014}+1\right)⋮̸3\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh