\(M=2n^4+2n^3-9n^3-9n^2+7n^2+7n+6n+6=\left(n+1\right)\left(2n^3-9n^2+7n+6\right)=\left(n+1\right)\left(2n^3-4n^2-5n^2+10n-3n+6\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(2n^2-5n-3\right)=\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(2n^2+n-6n-3\right)=\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(2n+1\right)\left(n-3\right)\)

\(=\left(n-1+2\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(2n+1\right)=\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(2n+1\right)+2\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(2n-2+3\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(2n+1\right)-2\left(2n-2\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)+3.2\left(n-2\right)\left(n-3\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(2n+1\right)-2.2\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)+6\left(n-2\right)\left(n-3\right)\)

ta có: (n-1)(n-2)(n-3) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp (với n>=3) => có 1 số chia hết cho 1, cho 2, cho 3 

và vì (1;2;3)=1 => tích của chúng chia hết cho 1.2.3=6 => chia hết cho 6

tiếp theo với 4(n-1)(n-2)(n-3) cũng vậy

còn 6(n-2)(n-3) thì hiển nhiên chia hết cho 6 nhé

=> chia hết cho 6

Lời giải:

Ta có:

$N=2n^4-7n^3-2n^2+13n+6$

$=2n^3(n+1)-9n^2(n+1)+7n(n+1)+6(n+1)$

$=(n+1)(2n^3-9n^2+7n+6)$

$=(n+1)[2n^2(n-2)-5n(n-2)-3(n-2)]$

$=(n+1)(n-2)(2n^2-5n-3)$

$=(n+1)(n-2)[2n(n-3)+(n-3)]=(n+1)(n-2)(n-3)(2n+1)$

Vì $n-2,n-3$ là 2 số nguyên liên tiếp nên $(n-2)(n-3)\vdots 2(*)$

Mặt khác:

Nếu $n=3k$ thì $n-3\vdots 3\Rightarrow N\vdots 3$

Nếu $n=3k+1$ thì $2n+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)\vdots 3\Rightarrow N\vdots 3$

Nếu $n=3k+2$ thì $n-2\vdots 3\Rightarrow N\vdots 3$

Vậy $N\vdots 3(**)$

Từ $(*); (**)$ mà $(2,3)=1$ nên $N\vdots 6$ (đpcm)

Bài nà viết sai đề

\(N=2n^4-7n^3-2n^3+13n+6=(n-2)(n-3)(n+1)(2n+1)\)

(*) Ta có n\(\in Z\)=> n-2,n-3 là 2 số nguyên liên tiếp=> có 1 số \(\vdots 2\)

=> (n-2)(n-3)(n+1)(2n+1)\(\vdots 2\) (1)

(*) Vì n là số nguyên nên có 3 dạng 3k,3k+1,3k+2

Với n=3k=>n-3 \(\vdots 3\)=>\(N\vdots 3\)

Với n=3k+1=>\(2n+1 \vdots 3\)=> N\(\vdots 3\)

Với n=3k+2=> n+1 \(\vdots 3\)=> N \(\vdots 3\)

=> N\(\vdots 3 mọi n\)(2)

Từ (1),(2) kết hợp (2,3)=1=> N\(\vdots 6\)

Vậy N chia hết cho 6

a; (n + 10)(n + 15)

+ Nếu n là số chẵn ta có: n + 10 ⋮ 2 ⇒ (n + 10)(n + 15) ⋮ 2

+ Nếu n là số lẻ ta có: n + 15 là số chẵn 

⇒ (n + 15) ⋮ 2 ⇒ (n + 10)(n + 15) ⋮ 2 

Từ những lập luận trên ta có:

A = (n + 10)(n + 15) ⋮ 2 ∀ n \(\in\) N

khó quá

Lời giải:

* CM $A$ chia hết cho $2$

Ta thấy $(7n+1)-n=6n+1$ lẻ, chứng tỏ $7n+1,n$ luôn khác tính chẵn lẻ.

Do đó luôn tồn tại 1 trong 2 số là chẵn

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)$ chẵn, hay $A\vdots 2(*)$

* CM $A$ chia hết cho $3$. Xét modulo $3$ cho $n$:

Nếu $n=3k(k\in\mathbb{Z}$

$\Rightarrow n\vdots 3\Rightarow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Nếu $n=3k+1\Rightarrow 2n+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)\vdots 3$

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Nếu $n=3k+2\Rightarrow 7n+1=7(3k+2)+1=3(7k+5)\vdots 3$

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Vậy tóm lại $A\vdots 3(**)$

Từ $(*); (**), mà $(2,3)=1$ nên $A\vdots (2.3)$ hay $A\vdots 6$ (đpcm)

Lời giải:

* CM $A$ chia hết cho $2$

Ta thấy $(7n+1)-n=6n+1$ lẻ, chứng tỏ $7n+1,n$ luôn khác tính chẵn lẻ.

Do đó luôn tồn tại 1 trong 2 số là chẵn

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)$ chẵn, hay $A\vdots 2(*)$

* CM $A$ chia hết cho $3$. Xét modulo $3$ cho $n$:

Nếu $n=3k(k\in\mathbb{Z}$

$\Rightarrow n\vdots 3\Rightarow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Nếu $n=3k+1\Rightarrow 2n+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)\vdots 3$

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Nếu $n=3k+2\Rightarrow 7n+1=7(3k+2)+1=3(7k+5)\vdots 3$

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Vậy tóm lại $A\vdots 3(**)$

Từ $(*); (**), mà $(2,3)=1$ nên $A\vdots (2.3)$ hay $A\vdots 6$ (đpcm)