Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Xét : x^4-4x+4

= (x^4-2x^2+1)+(2x^2-4x+2)+1

= (x^2-1)^2+2.(x^2-2x+1)+1

= (x-1)^2.(x+1)^2+2.(x-1)^2+1

= (x-1)^2.[(x+1)^2+2]+1

Vì (x-1)^2 > = 0

     (x+1)^2 > = 0 => (x+1)^2+2 > 0

=> (x-1)^2.[(x+1)^2+2] > = 0

=> x^4-4x+4 = (x-1)^2.[(x+1)^2+2]+1 > 0 với mọi x

Tk mk nha

Ta có x⁴-4x+4= (x⁴-2x²+1)+(2x²-4x+2)+1

= (x²-1)²+2(x²-2x+1)+1

= (x²-1)²+2(x-1)²+1

Nhận thấy (x²-1)² \(\ge0\forall x\); 2(x-1)² \(\ge0\forall x\)nên 

(x²-1)²+2(x-1)²+1 >0 với mọi x

Ta có x⁴-4x+4= (x⁴-2x²+1)+(2x²-4x+2)+1

= (x²-1)²+2(x²-2x+1)+1

= (x²-1)²+2(x-1)²+1

Nhận thấy (x²-1)² ≥0∀x; 2(x-1)² ≥0∀xnên 

(x²-1)²+2(x-1)²+1 >0 với mọi x

chúc các bn hok tốt !

CMR: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le2\)  biết \(^{x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0}\) và xy>0

tôi quên mât CMR: 1/x+1/y<=-2

\(x^4+4x+5\)

\(=\left(x^4+4x+4\right)+1\)

\(=\left(x+2\right)^2+1\)

vì \(\left(x+2\right)^2\ge0\)với mọi x

\(\Rightarrow\left(x+2\right)^2+1>0\)với mọi x

vậy.....(đpcm)

@Cold Wind

x^4 +4x +5 > 0

<=>x^4 -2x^2 +1 +2x^2 +4x +4 =0

<=>(x^2 -1)^2 +2 x^2 +4x +2 +2 =0

<=>(x^2 -1)^2 +2 (x+1)^2 +2 =0

có

(x^2 -1)^2 >=0

2 (x+1)^2 >=0

2 >0 => tổng VT >0 => dpcm

Ta có :

\(\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=\left[-2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right)-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(2\right)\) (vì \(a+b+c=0\))

\(\left(1\right)+\left(2\right)\Rightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^4+b^4+c^4\right)=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)

\(\Rightarrow dpcm\)

\(\begin{array}{l}C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5\\ = C_5^0{.1^5} - C_5^1{.1^4}.1 + C_5^2{.1^3}{.1^2} - C_5^3{.1^2}{.1^3} + C_5^4{.1.1^4} - C_5^5{.1^5}\\ = {\left( {1 - 1} \right)^5} = {0^5}\\ = 0\end{array}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Cách 2:

Ta có: \(C_5^0 = C_5^{5 - 0} = C_5^5\)

Tương tự: \(C_5^1 = C_5^{5 - 1} = C_5^4;\;C_5^2 = C_5^{5 - 2} = C_5^3;\)

\(\Rightarrow C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5 = \left( {C_5^0 - C_5^5} \right) + \left( {C_5^4 - C_5^1} \right) + \left( {C_5^2 - C_5^3} \right) = 0\) (đpcm)