Để 2 số hữu tỉ đều là dương :

\(\dfrac{m+2}{5}>0\Rightarrow m>-2\left(1\right)\)

\(\dfrac{m-5}{-6}>0\Rightarrow\dfrac{5-m}{6}>0\Rightarrow m< 5\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow-2< m< 5\Rightarrow m\in\left\{-1;0;1;2;3;4\right\}\left(m\in Z\right)\)

Ta có : \(M=\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1+5}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}+\frac{5}{\sqrt{x}+1}=1+\frac{5}{\sqrt{x}+1}\)

Để M nguyên thì 5 chia hết cho \(\sqrt{x}+1\)

Nên : \(\sqrt{x}+1\inƯ\left(5\right)=\left\{-5;-1;1;5\right\}\)

Ta có bảng : 

bài có nhầm đề không bạn? vì tử = mẫu thì M=1 rồi kìa

Nhầm đề bài :p

Đặt \(\sqrt{m^2+m+23}=k\) (\(k\in N\))

\(\Rightarrow m^2+m+23=k^2\)

\(\Leftrightarrow4m^2+4m+92=4k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)^2+91=4k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2k-2m-1\right)\left(2k+2m+1\right)=91\)

Ta có các cặp ước cùng dấu \(\left(\pm1;\pm91\right);\left(\pm91;\pm1\right);\left(\pm7;\pm13\right);\left(\pm13;\pm7\right)\)

Ví dụ: \(\left\{{}\begin{matrix}2k-2m-1=-1\\2k+2m+1=-91\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=-23\)

\(\left\{{}\begin{matrix}2k-2m-1=1\\2m+2m+1=91\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=22\)

Bạn tự xét các trường hợp còn lại

Để biểu thức đã cho là số hữu tỉ thì \(m^2+m+23=k^2\) với \(k\in Q\)

\(\Leftrightarrow4m^2+4m+1+91=4k^2\)

\(\Leftrightarrow4k^2-\left(2m+1\right)^2=91\)

\(\Leftrightarrow\left(2k-2m-1\right)\left(2k+2m+1\right)=91\)

Phương trình ước số cơ bản, bạn tự giải