\(3\sqrt{a-1}+4\sqrt{5-a}\le10\)(1)

<=> \(9a-9+80-16a+24\sqrt{-a^2+6a-5}\le100\)

<=> \(24\sqrt{-a^2+6a-5}\le29+7a\)

<=> \(-576a^2+3456a-2880\le841+406a+49a^2\)

<=> \(625a^2-3050a+3721\ge0\)

<=> \(\left(25a-61\right)^2\ge0\)đúng với mọi  \(1\le a\le5\)

Vậy (1) đúng với mọi a sao cho \(1\le a\le5\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = 61/25

Với \(1\le a\le5\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\left(3\sqrt{a-1}+4\sqrt{5-a}\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(a-1+5-a\right)=4\cdot25=100\)

\(\Rightarrow3\sqrt{a-1}+4\sqrt{5-a}\le10\)

=> đpcm

Cách khác:

Áp dụng bđt Bunhiacopski, ta được:

\(\left(3\sqrt{a-1}+4\sqrt{5-a}\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(a-1+5-a\right)\)

\(=25.4=100\)

\(\Rightarrow3\sqrt{a-1}+4\sqrt{5-a}\le10\)

Dấu "=" khi  \(a=\frac{61}{25}\)

Em học Bât đẳng thức Bunhia chưa?

\(A^2=\left(3\sqrt{a-1}+4\sqrt{5-a}\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(a-1+5-a\right)=25.4\)

=> \(A\le10\)

"=" xaye ra <=> \(\frac{\sqrt{a-1}}{3}=\frac{\sqrt{5-a}}{4}\Rightarrow\frac{a-1}{9}=\frac{5-a}{16}=\frac{a-1+5-a}{9+16}=\frac{4}{25}\)( dãy tỉ số bằng nhau)

=> \(a=1+\frac{9.4}{25}=\frac{61}{25}\) ( tm)

Vậy:...

Ta có: 

\(b\ge0\Rightarrow b^3+1\ge1\Rightarrow a\sqrt{b^3+1}\ge a\)

Hoàn toàn tương tự: \(b\sqrt{c^3+1}\ge b\) ;\(c\sqrt{a^3+1}\ge c\)

Cộng vế:

\(P\ge a+b+c=3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;3\right)\) và hoán vị

Lại có:

\(a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\dfrac{a\left(b^2+2\right)}{2}\)

Tương tự: \(b\sqrt{c^3+1}\le\dfrac{b\left(c^2+2\right)}{2}\) ; \(c\sqrt{a^3+1}\le\dfrac{c\left(a^2+2\right)}{2}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+a+b+c=\dfrac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2+2abc\right)+3\)

Nên ta chỉ cần chứng minh: \(Q=ab^2+bc^2+ca^2+2abc\le4\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a=mid\left\{a;b;c\right\}\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\le0\Leftrightarrow a^2+bc\le ab+ac\)

\(\Rightarrow ca^2+bc^2\le abc+ac^2\)

\(\Rightarrow Q\le ab^2+ac^2+2abc=a\left(b+c\right)^2=\dfrac{1}{2}.2a\left(b+c\right)\left(b+c\right)\le\dfrac{1}{54}\left(2a+2b+2c\right)^3=4\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;0\right)\) và 1 số hoán vị của chúng

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :

\(\left(3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x}\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(x-1+5-x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x}\right)^2\le100\)

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)\le10\)

Dấu "=" xảy ra :

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x-1}}{3}=\frac{\sqrt{5-x}}{4}\)

Vậy...

Bđt Bu-nhia-cop-xki \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\), đẳng thức xảy ra khi \(ay=bx\)

a.

\(\left(2x+3y\right)^2=\left(\sqrt{2}.\sqrt{2}x+\sqrt{3}.\sqrt{3}y\right)^2\le\left(2+3\right)\left(2x^2+3y^2\right)=5^2\)

\(\Rightarrow-5\le2x+3y\le5\)

b.

\(\sqrt{a+c}.\sqrt{b+c}+\sqrt{a-c}.\sqrt{b-c}\le\sqrt{a+c+a-c}.\sqrt{b+c+b-c}\)

\(=\sqrt{2a}.\sqrt{2b}=2\sqrt{ab}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{\sqrt{a+c}}{\sqrt{a-c}}=\frac{\sqrt{b+c}}{\sqrt{b-c}}\), hay \(a=b\)

Thử lại với a = b thì \(VT=2a=2\sqrt{ab}=VP>\sqrt{ab}\) nên đề đã ra sai vế phải của bđt.

c.

bđt \(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)

d.

bđt \(\Leftrightarrow\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\le a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}\)

\(\Leftrightarrow ac+bd\le\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{c^2+d^2}\)

bđt trên luôn đúng vì theo bđt Bu-nhia-cop-xki, ta có:

\(\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge\sqrt{\left(ac+bd\right)^2}=\left|ac+bd\right|\ge ac+bd\)