x chia cho 5 dư 3 suy ra x-3 chia chết cho 5 suy ra 2(x-3) chia chết cho 5 suy ra 2x-6+5 chia chết cho 5suy ra 2x-1 chia chết cho 5 (1)

x chia cho 7 dư 4 suy ra x-4 chia chết cho 7 suy ra 2(x-4) chia chết cho 7suy ra 2x-8+7 chia chết cho 7suy ra 2x-1 chia chết cho 7   (2)

x chia cho11 dư 6 suy ra x-6 chia chết cho 11 suy ra 2(x-6) chia chết cho 11 suy ra 2x-12+11 chia chết cho 11suy ra 2x-1 chia chết cho 11 (3)

 Từ (1) , (2) , (3) Suy ra 2x - 1 \(\in\)BC(5,7,11)   (4)

BCNN(5,7,11) =5.7.11=385

BC(5,7,11) = {0; 385; 770; ...}   (5)

Từ (4) và (5) suy ra 2x - 1\(\in\){0; 385; 770; ...} 

mà x là số tự nhiên nhỏ nhất  

suy ra x= 193

a) Do \(\left(x-1\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x-1\right)^2+2008\ge2008\)

Dấu "=" xảy ra khi (x - 1)² = 0 => x - 1 = 0 => x = 1

Vậy Min A = 2008 khi x = 1

b) Do \(\left|3-x\right|\ge0\Rightarrow1010-\left|3-x\right|\le1010\)

Dấu "=" xảy ra khi |3 - x| = 0 => 3 - x = 0 hoặc x - 3 = 0 

=> x = 3

Vậy Max Q = 1010 tại x = 3 

\(\left(x-1\right)^2+2008\ge2008\)

MIN \(=2008\Leftrightarrow x-1=0\)

\(\Rightarrow x=1\)

\(1010-\left|3-x\right|\le1010\)

MIn \(=1010\Leftrightarrow3-x=0\Rightarrow x=3\)

Bài 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhât :

a ) A = ( x - 1 )² + 2008

b) Q =  1010 - | 3 - x |

a) Do 

Dấu "=" xảy ra khi (x - 1)² = 0 => x - 1 = 0 => x = 1

Vậy Min A = 2008 khi x = 1

b) Do \(\left|3-x\right|\ge0\Rightarrow1010-\left|3-x\right|\le1010\)

Dấu "=" xảy ra khi |3 - x| = 0 => 3 - x = 0 hoặc x - 3 = 0 

=> x = 3

Vậy Max Q = 1010 tại x = 3 

\(M=x^2-2xy+4y^2+12xy+22\)

\(M=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(3y^2+12y+12\right)+10\)

\(M=\left(x-y\right)^2+3\left(x+2\right)^2+10\ge10\forall x;y\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=-2\) 

( Chỗ \(M=\left(x-y\right)^2+3\left(x+2\right)^2+10\ge10\forall x;y\) bạn phân tích từng cái đã nhá, mình làm tắt ) 

\(M=-\left|x+2\right|+\left|x-5\right|.\)

Vậy, GTNN của M = -7 với mọi x >= 5

\(=-x-2+x-5\)

\(=0x-7\le-7\)

Vậy min = -7 khi : \(0x=0=>x\in R\)

Lời giải:

Ta thấy: $x^2\geq 0$ với mọi $x$ nên $x^2+9+2019\geq 9+2019=2028$

$\Rightarrow A=\sqrt{x^2+9+2019}\geq \sqrt{2028}$

Vậy GTNN của $A$ là $\sqrt{2028}$ khi $x=0$

\(ĐKXĐ:x\ge0\)

Ta có : \(D=\frac{2011x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=2011\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-2\)

Theo BĐT AM - GM ta có :

\(2011\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{2011\sqrt{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{2011}\)

\(\Rightarrow2011\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-2\ge2\left(\sqrt{2011}-1\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2011}\)

Vậy \(D_{min}=2\left(\sqrt{2011}-1\right)\) tại \(x=\frac{1}{2011}\)

a: \(A=\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+3\sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{5}=2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=10\)

\(B=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\sqrt{x}-1+\sqrt{x}=2\sqrt{x}-1\)

b: A=2B

=>\(10=4\sqrt{x}-2\)

=>\(4\sqrt{x}=12\)

=>x=9(nhận)

a) điều kiện xác định : \(x\ge2;x\ne5\)

b) \(P=\dfrac{x-5}{\sqrt{x-2}-\sqrt{3}}=\dfrac{\left(\sqrt{x-2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{3}\right)}{\sqrt{x-2}-\sqrt{3}}\)

\(\Leftrightarrow P=\sqrt{x-2}+\sqrt{3}\)

c) ta có : \(P=\sqrt{x-2}+\sqrt{3}\ge\sqrt{3}\) \(\Rightarrow\) GTNN của \(P\) là \(\sqrt{3}\)

dấu "=" xảy ra khi \(x=2\)