a) N trung điểm AD \(\Rightarrow AN=\frac{AD}{2}=\frac{BC}{2}\)

M trung điểm BC \(\Rightarrow MC=\frac{BC}{2}\Rightarrow AN=MC\)mà AN//MC

nên AMCN là hình bình hành \(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC}\)

b) Tương tự câu a ta được \(\hept{\begin{cases}ND=BM=\frac{1}{2}BC\\ND//BM\end{cases}}\)=> NDMB là hình bình hành=> NB//DM (1)

Xét 2 tam giác ANI và NDK: \(\hept{\begin{cases}AN=ND=\frac{AD}{2}\\\widehat{NAI}=\widehat{DNK}\left(AM//NC\right)\\\widehat{ANI}=\widehat{NDK}\left(NB//MD\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta ANI=\Delta NDK\left(g.c.g\right)}\)

\(\Rightarrow NI=DK\)(2)

(1), (2) => \(\overrightarrow{NI}=\overrightarrow{DK}\)

\(\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{ND}=2\overrightarrow{NC}+2\overrightarrow{CD}\Rightarrow\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{DC}\Rightarrow\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{CD}\)

a.

\(\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\)

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\)

b.

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\\\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}\\\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MN}=-2\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}\right)=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{4}\overrightarrow{BD}\)

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AB}\Rightarrow2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{ND}=2\left(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AD}\right)=-2\overrightarrow{AN}+2\overrightarrow{AD}\Rightarrow3\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AD}\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}\)

Do K là trung điểm MN 

\(\Rightarrow\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}\)

Theo tính chất hbh: \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)

Do O là tâm hình bình hành \(\Rightarrow\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

Mà H là trung điểm OC \(\Rightarrow\overrightarrow{OH}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OC}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OH}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AH}=-\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AH}\)

\(=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{12}\overrightarrow{AD}\)

\(\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{ND}\)

=>A,N,D thẳng hàng và AN=2ND

ABCD là hình bình hành tâm O

=>O là trung điểm chung của AC và BD

H là trung điểm của OC

nên HO=HC=1/2CO

=>\(HO=HC=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot CA=\dfrac{1}{4}CA\)

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}\)

=>AM=MB và M nằm giữa A và B

=>M là trung điểm của AB

AN+ND=AD

=>2ND+ND=AD

=>AD=3ND

=>AN/AD=2/3

=>\(\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{3}\cdot\overrightarrow{AD}\)

\(\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MH}\)

\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CH}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AM}\right)+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CA}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}\right)\)

\(=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}\)

\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{12}\overrightarrow{AD}\)

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AD//BC\\AD = BC\end{array} \right.\) (do tứ giác ABCD là hình bình hành)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \)

b) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

Cách 1:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AG}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BG}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow {BG} ;\\\overrightarrow {CG}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {BG}  = - \overrightarrow b  + \overrightarrow {BG} ;\end{array}\)(*)

Lại có: \(\overrightarrow {BD} =\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD} =  - \overrightarrow a  + \overrightarrow b \).

\(\overrightarrow {BG} ,\overrightarrow {BD} \) cùng phương và \(\left| {\overrightarrow {BG} } \right| = \frac{2}{3}BO = \frac{1}{3}\left| {\overrightarrow {BD} } \right|\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BG}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BD}  = \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\)

Do đó (*) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AG}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow {BG}  = \overrightarrow a  + \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow a  + \frac{1}{3}\overrightarrow b ;\\\overrightarrow {CG}  = -\overrightarrow b  + \overrightarrow {BG}  = -\overrightarrow b  + \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) =  - \frac{1}{3}\overrightarrow a  - \frac{2}{3}\overrightarrow b ;\end{array} \right.\)

Vậy \(\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow a  + \frac{1}{3}\overrightarrow b ;\;\overrightarrow {CG}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow a  - \frac{2}{3}\overrightarrow b .\)

Cách 2:

Gọi AE, CF là các trung tuyến trong tam giác ABC.

Ta có: 

\(\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AE}  = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB}  + \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)} \right] \\= \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow a  + \frac{1}{3}\overrightarrow b \)

\(\overrightarrow {CG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {CF}  = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} } \right) = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD} } \right) + \overrightarrow {CB} } \right] = \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD} } \right) = \frac{1}{3}\left( { - 2\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right) =  - \frac{1}{3}\overrightarrow a  - \frac{2}{3}\overrightarrow b \)

Vậy \(\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow a  + \frac{1}{3}\overrightarrow b ;\;\overrightarrow {CG}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow a  - \frac{2}{3}\overrightarrow b .\)

bài 1

a CO-OB=BA

<=.> CO = BA +OB

<=> CO=OA ( LUÔN ĐÚNG )=>ĐPCM

b AB-BC=DB

<=> AB=DB+BC

<=> AB=DC(LUÔN ĐÚNG )=> ĐPCM

Cc DA-DB=OD-OC

<=> DA+BD= OD+CO

<=> BA= CD (LUÔN ĐÚNG )=> ĐPCM

d DA-DB+DC=0

VT= DA +BD+DC

= BA+DC

Mà BA=CD(CMT)

=> VT= CD+DC=O

BÀI 2

AC=AB+BC

BD=BA+AD

=> AC+BD= AB+BC+BA+AD=BC+AD (đpcm)