Lời giải:

$(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=2$

$\Leftrightarrow (x+\sqrt{x^2+1})(x-\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=2(x-\sqrt{x^2+1})$

$\Leftrightarrow -(y+\sqrt{y^2+1})=2(x-\sqrt{x^2+1})$

$\Leftrightarrow 2x+\sqrt{y^2+1}=2\sqrt{x^2+1}-y$

$\Rightarrow (2x+\sqrt{y^2+1})^2=(2\sqrt{x^2+1}-y)^2$
$\Leftrightarrow 4x^2+y^2+1+4x\sqrt{y^2+1}=4(x^2+1)+y^2-4y\sqrt{x^2+1}$

$\Leftrightarrow 4(x\sqrt{y^2+1})+y\sqrt{x^2+1})=3$

$\Leftrightarrow 4Q=3$

$\Leftrightarrow Q=\frac{3}{4}$ 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

\(\left(x\cdot1+y\cdot1\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)=2\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

\(\left(x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1+y+1+x\right)=x+y+2=2+\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\ge\sqrt{2+\sqrt{2}}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

\(VT=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}\right)^2\)

\(VT\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y+\dfrac{4}{x+y}\right)^2=\dfrac{25}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)( tự c/m)

Dấu " = " xảy ra <=> \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)

Áp dụng: \(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+x^2}=\frac{x^2}{x+xy^2}+\frac{y^2}{y+x^2y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y+x^2y+xy^2}=\frac{2^2}{2+xy\left(x+y\right)}=\frac{4}{2+2xy}\)

Áp dụng BĐT \(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\)( tự c/m)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

Áp dụng: \(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+x^2}\ge\frac{4}{2+2xy}\ge\frac{4}{2+\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=\frac{4}{2+2}=1\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y=1

Một lời giải rất quen thuộc đó là dùng cô si ngược dấu:

\(x.\frac{1}{1+y^2}=x\left(1-\frac{y^2}{1+y^2}\right)\ge x\left(1-\frac{y^2}{2y}\right)=x-\frac{xy}{2}\)

Tương tự,ta cũng có: \(\frac{y}{1+x^2}\ge y-\frac{xy}{2}\)

Cộng theo vế hai BĐT trên và áp dụng BĐT \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\),ta được:

\(VT\ge\left(x+y\right)-xy\ge2-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=2-1=1^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1

\(P=\dfrac{x^2+y^2+6}{x+y}=\dfrac{x^2+y^2+2xy+4}{x+y}=\dfrac{\left(x+y\right)^2+4}{x+y}=x+y+\dfrac{4}{x+y}\)

\(P\ge2\sqrt{\left(x+y\right).\dfrac{4}{x+y}}=4\)

\(P_{min}=4\) khi \(x=y=1\)

\(y\ge1+xy\Rightarrow1\ge\dfrac{1}{y}+x\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}}\Rightarrow\dfrac{x}{y}\le4\Rightarrow\dfrac{y}{x}\ge4\)

\(G=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{16x}\right)+\dfrac{15}{16}.\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{16xy}}+\dfrac{15}{16}.4=\dfrac{17}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)