Với \(p=2\)\(\Rightarrow2p+5=9\)là hợp số ( loại )

Với \(p=3\)\(\Rightarrow2p+5=11\)và \(2p+7=13\)là số nguyên tố ( thoả mãn )

Với \(p>3\)\(\Rightarrow\)p chia 3 dư 1 hoặc dư 2

TH1: p chia 3 dư 1 \(\Rightarrow p=3k+1\left(k\inℕ\right)\)

\(\Rightarrow2p+7=2\left(3k+1\right)+7=6k+9=3\left(2k+3\right)⋮3\)

TH2: p chia 3 dư 2 \(\Rightarrow p=3k+2\left(k\inℕ\right)\)

\(\Rightarrow2p+5=2\left(3k+2\right)+5=6k+9=3\left(2k+3\right)⋮3\)

\(\Rightarrow p>3\)( loại )

Vậy \(p=3\)

       Bài làm :

Xét 3 trường hợp :

⇒2.p+ 1= 7

2.p+ 5= 11 ( thỏa mãn)

⇒ 2.p+ 1= 2. ( 3.k+ 1) + 1= 6.k+ 2+ 1= 6.k+ 3= 3. (2.k+ 1) chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số

⇒ Loại

⇒ 2.p+ 5= 6.k+ 4+ 5= 6.k+ 9= 3. (2.k+ 3) chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số

⇒ Loại

Vậy p= 3

vs p=2 bn tu xet nha. vs p=3k+1 thi bn cx tu xet .vs p=3k+2 thi bn cx tu xet vs p=3k ma p la snt nen p=3 khi do bn tu thay vao

bẠN tự xét p  có dạng 3k,3k+1,3k+2 nha

thì sẽ được p có dạng 3k thì 2p-1 và 2p+1 là snt

mà p là snt =>p=3

Xét p=2

⇒ \(2^2+2^2=4+4=8\left(L\right)\)

Xét p=3

⇒ \(2^3+3^2=8+9=17\left(TM\right)\)

Xét p>3

⇒ p² + 2^p = (p² – 1) + (2^p + 1 )

Vì p lẻ và p không chia hết cho 3 nên (p²–1)⋮3 và (2^p+1)⋮3.

Do đó:  2^p+p²là hợp số (L)

Vậy với p = 3 thì 2^p + p²  là số nguyên tố.

+)Xét TH: p=2

=>2p² +1=9 (ko là số ntố, loại)

+)Xét TH:p=3

=>2p²+1=19 (là số ntố, chon)

+)Xét TH: p>3 =>p có 1 trong 2 dạng 3k+1 hoặc 3k+2

   p=3k+1 =>2p²+1=2.(3k+1)²+1=2.(9k²+6k+1)+1=18k²+12k+2+1

                            =3.(6k²+4k+1) chia hết cho 3 , mà 2p²+1 >3 (vì p>3)

         =>2p²+1 là hợp số(loại)

   p=3k+2=>2p²+1=2.(3k+2)²+1=2.(9k²+12k+4)+1

                           =18k²+24k+8+1= 3.(6k²+8k+3) chia hết cho 3 (là hợp số vì 2p²+1>0,loại)

 Vậy p=3 thì 2p²+1 là số ntố

+Xét p=3 => 2p^2+1=19 ( tm)

+Xét p>3 vì p là SNT => P có 1 trong 2 dạng : 3k+1 hoặc 3k+2

+p=3k+1 => \(2p^2+1\)\(=2.\left(3k+1\right)^2+1\)=\(2.\left(9k^2+6k+1\right)+1\\ =18k^2+12k+3\)

=> với p=3k+1 thi 2p^2+1 là Hợp số

tương tự p=3k+2 cũng thế

b) +) Nếu p = 3k + 1 (k thuộc N)=> 2p² + 1 = 2.(3k + 1)² + 1 = 2.(9k² + 6k + 1) + 1 = 18k² + 12k + 2 + 1 = 18k² + 12k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 => 2p² + 1 là hợp số (loại)

+) Nếu p = 3k + 2 (k thuộc N) => 2p² + 1 = 2.(3k + 2)² + 1 = 2.(9k² + 12k + 4) + 1 = 18k² + 24k + 8 + 1 = 18k² + 24k + 9 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 => 2p² + 1 là hợp số (loại)

Vậy p = 3k, mà p là số nguyên tố => k = 1 => p = 3

a) +) Nếu p = 1 => p + 1 = 2; p + 2 = 3; p + 4 = 5 là số nguyên tố

+) Nếu p > 1 :

p chẵn => p = 2k => p + 2= 2k + 2 chia hết cho 2 => p+ 2 là hợp số => loại

p lẻ => p = 2k + 1 => p + 1 = 2k + 2 chia hết cho 2 => p+1 là hợp số => loại

Vậy p = 1

c) p = 2 => p + 10 = 12 là hợp số => loại

p = 3 => p + 10 = 13; p+ 14 = 17 đều là số nguyên tố => p = 3 thỏa mãn

Nếu p > 3 , p có thể có dạng

+ p = 3k + 1 => p + 14 = 3k + 15 chia hết cho 3 => loại p = 3k + 1

+ p = 3k + 2 => p + 10 = 3k + 12 là hợp số => loại p = 3k + 2

Vậy p = 3

 câu a là p ko có giá trị chớ

Với p = 2 ta co  2^p + p² = 12  không là số nguyên tố

Với p = 2 ta có 2^p + p² = 17 là số nguyên tố

Với p > 3 ta có p² + 2^p = (p² – 1) + (2^p + 1 )

Vì p lẽ và p không chia hết cho 3 nên p² – 1 chia hết cho 3 và 2^p + 1 chia hết cho 3. Do đó  2^p + p²  là hợp số

Vậy với p = 3 thì 2^p + p²  là số nguyên tố.

Với p = 2 ta co  2p + p2 = 12  không là số nguyên tố

Với p = 2 ta có 2p + p2 = 17 là số nguyên tố

Với p > 3 ta có p2 + 2p = (p2 – 1) + (2p + 1 )

Vì p lẻ và p không chia hết cho 3 nên p2 – 1 chia hết cho 3 và 2p + 1 chia hết cho 3. Do đó  2p + p2  là hợp số

Vậy với p = 3 thì 2p + p2  là số nguyên tố

Do 2p - 1 lẻ và 4p - 1 lẻ nên p chẵn

Vậy p = 2

Dùng phương pháp đánh giá em nhá.

Nếu p = 2 ⇒ 2p - 1 = 4 - 1 = 3 (thỏa mãn)

        p = 2 ⇒ 4p - 1 = 8 - 1 = 7 (thỏa mãn)

Nếu p = 3 ⇒ 2p - 1 = 6- 1 = 5 (thỏa mãn)

       p  = 3 ⇒ 4p - 1 = 12 - 1 = 11 (thỏa mãn)

Nếu p > 3 ⇒ p = 3k + 1 (k \(\) \(\in\) N^*)

       p = 3k + 1 ⇒ 4p - 1 = 4.(3k + 1) - 1 = 12k - 3 ⋮ 3(loại)

Nếu p = 3k + 2 ⇒ 2p - 1 = 2.(3k + 2) - 1 = 6k - 3 ⋮ 3(loại)

Từ những phân tích trên ta có p = 2; 3

Kết luận: p \(\in\) {2; 3}

 Dùng phương pháp đánh giá em nhá.

+ Nếu p = 2 ta có: 2p + 1 = 5 (thỏa mãn);   4p + 1 = 9 (loại)

+ Nếu p = 3 ta có: 2p + 1 = 7 (thỏa mãn);   4p + 1 = 13 (thỏa mãn)

+ Nếu p > 3 mà p là số nguyên tố nên p có dạng:

   p = 3k + 1; p = 3k + 2 (k \(\in\)N*)

Với p = 3k + 1 ⇒ 2p + 1 = 2.(3k+1) + 1 = 6k+3 ⋮ 3 (loại)

Với p = 3k + 2 ⇒ 4p + 1 = 4.(3k + 2) + 1 = 12k + 9 ⋮ 3(loại)

Từ những phân tích trên ta có: p = 3 

Kết luận với p = 3 thì p; 2p + 1; 4p + 1 đồng thời là số nguyên tố.

Gọi d là ƯCLN(2p + 1; 4p + 1) 

⇒ 2p + 1 ⋮ d và 4p + 1 ⋮ d 

⇒ 2 x (2p + 1) ⋮ d và 4p + 1 ⋮ d

⇒ 4p + 2 ⋮ d và 4p + 1 ⋮ d

⇒ (4p + 2) - (4p + 1) ⋮ d

⇒ 4p + 2 - 4p - 1 ⋮ d

⇒ 2 - 1 ⋮ d

⇒ 1 ⋮ d

⇒ d = 1

Vậy 2p + 1 và 4p + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau 

Cùng là số nguyên tố nó khác với nguyên tố cùng nhau bạn ơi.

Xét \(p=2\). Khi đó \(4.2+1=9\) không là SNT.

Xét \(p=3\). Khi đó \(2.3+1=7\) và \(4.3+1=13\) là các SNT.

Xét \(p>3\). Khi đó \(p=3k+1\) hoặc \(p=3k+2\).

 Nếu \(p=3k+1\) thì \(2p+1=2\left(3k+1\right)+1=6k+3⋮3\)  nên \(2p+1\) không phải là SNT.

 Nếu \(p=3k+2\) thì \(4p+1=4\left(3k+2\right)+1=12k+9⋮3\) nên \(4p+1\) không phải là SNT.

Vậy nếu p là SNT lớn hơn 3 thì 1 trong 2 số \(2p+1,4p+1\) không là SNT. Do đó SNT p duy nhất thỏa mãn đề bài là \(p=3\)

Xét \(p=2\) thì \(2p+1=5;4p+1=9\) không thỏa mãn.

Xét \(p=3\) thì \(2p+1=7;4p+1=13\), thỏa mãn.

Xét \(p>3\) thì \(p=3q+1;p=3q+2\left(q\inℕ^∗\right)\)

Nếu \(p=3q+1\) thì \(2p+1=2\left(3q+1\right)+1=6q+3⋮3\) . Hơn nữa \(6q+3>3\) nên \(2p+1\) là hợp số, không thỏa mãn.

Nếu \(p=3q+2\) thì \(4p+1=4\left(3q+2\right)+1=12q+9⋮3\) . Lại có \(12q+9>3\) nên \(4p+1\) là hợp số, không thỏa mãn.

Vậy \(p=3\) là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn ycbt.

là p =1

1