Tại sao khi một phương trình có vai trò các ẩn bình đẳng nhau chẳng hạn :\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\) thì ta có thể giả sử \(x\le y\le z\)
để tìm ẩn. Chứ phương trình bình thường thì không được hay sao?
1/cho x>2014. Chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{\sqrt{x-2013}}{x+2}\) + \(\frac{\sqrt{x-2014}}{x}\)\(\le\)\(\frac{1}{2\sqrt{2015}}\)+\(\frac{1}{2\sqrt{2014}}\)(bằng cách đặt ẩn phụ để áp dụng BĐT Cauchy)
2/cho x,y,z>0. chứng minh BĐT sau:
\(\frac{x}{2x+y+z}\)+\(\frac{y}{x+2y+z}\)+\(\frac{z}{x+y+2z}\)\(\le\) 3/4 (bằng cách đặt ẩn phụ để áp dụng BĐT Cauchy)
các bạn giải thật kĩ giúp nha! nếu giải bằng cách đặt ẩn phụ để áp dụng BĐT Cauchy không được thì suy nghĩ cách khác giúp mình nhé. Mình đang cần gấp. Thanhks
1/ Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2013}=a\\\sqrt{x-2014}=b\end{cases}}\)
Thì ta có:
\(\frac{\sqrt{x-2013}}{x+2}+\frac{\sqrt{x-2014}}{x}=\frac{a}{a^2+2015}+\frac{b}{b^2+2014}\)
\(\le\frac{a}{2a\sqrt{2015}}+\frac{b}{2b\sqrt{2014}}=\frac{1}{2\sqrt{2015}}+\frac{1}{2\sqrt{2014}}\)
2/ \(\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)\)
\(=\frac{3}{4}\)
Vì vai trò của x,y,z là như nhau nên ta đặt: \(0\le x\le y\le z\le1\)
Ta có:\(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{xy+1}+\frac{z}{xy+1}=\frac{x+y+z}{xy+1}\left(1\right)\)
Ta lại có: \(0\le x\le1;0\le y\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy-x-y+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy+1\ge x+y\left(2\right)\)
Từ (2);(1) và \(z\le1\) suy ra: \(\frac{x+y+z}{xy+1}\le\frac{\left(xy+1\right)+1}{xy+1}\le\frac{2xy+2}{xy+1}=2\)
đây đâu phải toán lớp 1
cũng ko phải bài toán lớp 2
cái này toán lớp 5 r
Nếu bình phương hai vế (Khử căn thức chứa ẩn) của bất phương trình \(\sqrt{1-x}\le x\) ta nhận được bất phương trình nào ? Bất phương trình nhận được có tương đương bất phương trình đã cho hay không ? Vì sao ?
Nếu bình phương cả hai vế của bất phương trình ta được bất phương trình:\(1-x\le x^2\).
BPT này là bất phương trình hệ quả của bất phương trình ban đầu vì khi bình phương hai vế của bất phương trình thì hai vế phải luôn không âm.
Cho các số thực dương x,y,x TM x+y+z=1. C/m: \(\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\le\frac{9}{4}\)
Ko dùng pp đặt ẩn phụ được ko mn? (Nếu được thì giải hộ mình :v)
\(\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}=\frac{x}{x\left(x+y+z\right)+yz}+\frac{y}{y\left(x+y+z\right)+zx}+\frac{z}{z\left(x+y+z\right)+xy}\)
\(=\text{Σ}\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}=\frac{2\left(xy+yz+xz\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\)(1)
+) CM bổ đề (cái này khá hữu dụng): \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}\cdot3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=9xyz\Leftrightarrow\frac{1}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge xyz\)
Có \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)-xyz\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\)
Thay vào (1)-> DPCM
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1/3
1) Cho phương trình ẩn x, tham số n \(\varepsilon\)N:
1 + 1/10(x - 1) + 2 + 1/10(x - 2) + 3 + 1/10(x - 3) + ........ + n +1/10(x - n) = x
a) Tìm điều kiện của n để phương trình có ngiệm x>0;
b) Với các giá trị nào của n thì phương trình có nghiệm nguyên, dương. Tìm các nghiệm đó.
2) Rút gọn biểu thức sau:
A = (x3 - y3){\(\frac{x^2+xy}{x^2+xy+y^2}\)- [\(\frac{x\left(2x^2+xy-y^2\right)}{x^3-y^3}-2+\frac{y}{y-x}\)]:[\(\frac{x-y}{x}-\frac{x}{x-y}\)]}
3) Tìm các số a, b để đa thức P(x) luôn chia hết cho đa thức Q(x) với:
P(x) = 6x4 - 7x3 + ax2 + 3x + 2
Q(x) = x2 - x + b
4) Xác định đa thức bậc ba F(x). Biết F(0) = 8; F(1) = 20; F(2) = 2; F(3) = 2004:
F(x) = ax(x - 1)(x - 2) + bx(x - 1) + cx + d
5) C/m rằng: Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên lẻ bất kì luôn chia hết cho 8
6) Cho biểu thức M = \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\)và B = \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
a) Chứng minh rằng nếu A = 1 thì B = 0.
b) Ngược lại nếu B =0 thì A = 0 có đúng không? Vì sao?
- The End -
Bài toán. Cho \(x,y,z>0,x+y+z\le k\). Chứng minh:
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2m^2}{xy+yz+zx}\ge\frac{\left(1+2m\right)^2}{k^2}\)
Nói chung, cách chứng minh bài này không có gì khó, thậm chí có thể nói là rất dễ. Vì:;
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2m^2}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{\left(2m\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{\left(1+2m\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(1+2m\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{\left(1+2m\right)^2}{k^2}\)
Vậy, vấn đề ở đây không phải là lời giải, mà là dấu đẳng thức.
Quan sát một chút ta thấy x, y, z là đối xứng nhau và điều kiện là \(x+y+z=1\).
Nên ta đoán \(\hept{\begin{cases}x=y=t\\x+y+z=k\end{cases}}\Rightarrow z=k-2t\left(0\le t\le\frac{k}{2}\right)\) (*)
Ta xét: \(P\left(x,y,z\right)=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2m^2}{xy+yz+zx}\)
Chọn t sao cho \(P\left(t,t,k-2t\right)=\frac{\left(1+2m\right)^2}{k^2}\)
Quy đồng lên và phân tích thành nhân tử, nó tương đương với: \(k^2m-4kmt+6mt^2-2kt+3t^2=0\)
Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc 2, dễ có: \(t_1=\frac{k\left(1+2m+\sqrt{-2m^2+m+1}\right)}{3\left(1+2m\right)},t_2=\frac{k\left(-1-2m+\sqrt{-2m^2+m+1}\right)}{3\left(1+2m\right)}\)
Cần chú ý rằng, tùy vào tham số k, m ở từng bài mà \(-2m^2+m+1,t_1,t_2\) có thể âm hoặc dương nên sau đó ta cần..(Không biết nói sao cho hay hết! Các bạn tự hiểu nha :D)
Với \(m=\frac{1}{\sqrt{2}}\)ta được bài https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html
Lưu ý. Không phải lúc nào ta cũng may mắn có được như (*), có khi các biến hoàn toàn đối xứng nhưng đẳng thức lại xảy ra hoàn toàn lệch nhau! Chính vì vậy, bài trên dù dấu đẳng thức xấu nhưng ta vẫn "còn may".
Nếu không việc tìm dấu đẳng thức còn mệt hơn nhiều :D
Với \(0\le x;y;z\le1\). Tìm tất cả nghiệm của phương trình:
\(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}=\frac{3}{x+y+z}\)
Hãy tích nếu như bạn thông minh
Ai ko tích là bình thường
Còn ai dis là "..."
Ta có : \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\Rightarrow xy-\left(x+y\right)+1\ge0\)
\(\Rightarrow xy+z+1\ge x+y+z\Rightarrow\frac{y}{xy+z+1}\le\frac{y}{x+y+z}\)
Tương tự : \(\frac{x}{xz+y+1}\le\frac{x}{x+y+z}\); \(\frac{z}{yz+x+1}\le\frac{z}{x+y+z}\)
Cộng lại,ta được :
\(VT\le\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\)( 1 )
Mà \(x+y+z\le3\Rightarrow VP=\frac{3}{x+y+z}\ge1\)( 2 )
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra x = y = z = 1
Vậy ...
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc hai một ẩn? Vì sao?
a) $-2 x+2<0$
b) $\frac{1}{2} y^2-\sqrt{2}(y+1) \leq 0$
c) $y^2+x^2-2 x \geq 0$
a) \( - 2x + 2 < 0\) không là bất phương trình bậc hai một ẩn vì bậc của bất phương trình này là bậc 1.
b) \(\frac{1}{2}{y^2} - \sqrt 2 \left( {y + 1} \right) \le 0\) là bất phương trình bậc hai một ẩn vì bậc của bất phương trình này là bậc 2 và có đúng 1 ẩn là y.
c) \({y^2} + {x^2} - 2x \ge 0\) không là bất phương trình bậc hai một ẩn vì có 2 ẩn là x và y.
bài 1 giải phương trình
a) \(\frac{x+5}{x-1}=\frac{x+1}{x-3}-\frac{8}{x^2-4x+3}\)
B) \(\frac{2}{\left(1-3x\right)\left(3x+11\right)}=\frac{1}{9x^2-6x+1}-\frac{3}{\left(3x+11\right)^2}\)
Bài 2 cho ẩn z
\(\frac{z}{3z+z}-\frac{z}{z-3a}=\frac{a^2}{9a^2-z^2}\)
a) giải phương trình khi a=1
b) tìm cá giá trị a khi z=1