a(a−x)²+b(b−x)²            (1)

=(a+b)x²−2x(a²+b²)+a³+b³

+) a+b=0⇒pt(1)có một nghiệm⇒|a|=|b|

+) a+b≠0

Xét Δ'=a⁴+2a²b²+b⁴−a⁴−ab³−a³b−b⁴

=2a²b²−ab³−a3b=ab(a−b)²

PT(1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi : Δ'=0⇒a−b=0⇒|a|=|b|

Thực hiện khai triển , PT đã cho tương đương với 

\(\left(a+b\right)x^2-2x\left(a^2+b^2\right)+\left(a^3+b^3\right)=0\left(^∗\right)\)

Nếu \(a+b=0\) thì

\(a^2+b^2\ne0\) với mọi a , b \(\ne0\) . PT (*) có nghiệm duy nhất \(x=\frac{a^3+b^3}{2\left(a^2+b^2\right)}\) ( thỏa mãn yêu cầu )

\(a+b=0\Rightarrow a=-b\Rightarrow\left|a\right|=\left|b\right|\left(1\right)\)

Nếu \(a+b\ne0\)

PT (*) là PT bậc 2 ẩn x có nghiệm duy nhất khi mà 

\(\Delta'=\left(a^2+b^2\right)^2-\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2b^2-ab^3-a^3b=0\)

\(\Leftrightarrow-ab\left(a-b\right)^2=0\)

Vì \(a,b\ne0\Rightarrow ab\ne0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2=0\Rightarrow a=b\Rightarrow\left|a\right|=\left|b\right|\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có đpcm

Chúc bạn học tốt !!!

Đặt \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\).

\(f\left(0\right)=c;f\left(1\right)=a+b+c\)

Do \(a+b+2c=0\) nên c và \(a+b+c\) trái dấu. Suy ra f(0)f(1) < 0 nên f(x) = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm tren (0; 1).

kb nhé

12345x331=...///???......................ai nhanh  mk tk cho

mk ko biet dang  cau  hoi nen phai the thoi mong  cac ban thon  cam

Lời giải:
Thực hiện khai triển, PT đã cho tương đương với:

$(a+b)x^2-2x(a^2+b^2)+(a^3+b^3)=0(*)$

Nếu $a+b=0$:

$a^2+b^2\neq 0$ với mọi $a,b\neq 0$. PT $(*)$ có nghiệm duy nhất \(x=\frac{a^3+b^3}{2(a^2+b^2)}\) (thỏa mãn yc)

$a+b=0\Rightarrow a=-b\Rightarrow |a|=|b|(1)$

Nếu $a+b\neq 0$:

PT $(*)$ là PT bậc 2 ẩn $x$ có nghiệm duy nhất khi mà:

$\Delta'=(a^2+b^2)^2-(a+b)(a^3+b^3)=0$

$\Leftrightarrow 2a^2b^2-ab^3-a^3b=0$

$\Leftrightarrow -ab(a-b)^2=0$

Vì $a,b\neq 0\Rightarrow ab\neq 0$

$\Rightarrow (a-b)^2=0\Rightarrow a=b\Rightarrow |a|=|b|(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có đpcm.

khó quá

* Giả sử cả 3 pt đều có nghiệm kép hoặc vô nghiệm ta có : 

pt \(x^2-2ax+b=0\) (1) có \(\Delta_1'=\left(-a\right)^2-b=a^2-b\le0\)

pt \(x^2-2bx+c=0\) (2) có \(\Delta_2'=\left(-b\right)^2-c=b^2-c\le0\)

pt \(x^2-2cx+a=0\) (3) có \(\Delta_3'=\left(-c\right)^2-a=c^2-a\le0\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'=\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)\le0\) (*) 

Lại có : \(0< a,b,c< 3\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a\left(3-a\right)>0\\b\left(3-b\right)>0\\c\left(3-c\right)>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a>a^2\\3b>b^2\\3c>c^2\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\)\(\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)< 3\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=2\left(a+b+c\right)=6>0\)

trái với (*) 

Vậy có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân biệt 

cái kia chưa bt làm -_- 

nhầm r >_< sửa lại chỗ này nhé 

Lại có : \(0< a,b,c< 3\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a\left(3-a\right)< 0\\b\left(3-b\right)< 0\\c\left(3-c\right)< 0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a< a^2\\3b< b^2\\3c< c^2\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\)\(\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)>3\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=6>0\) :))

mk giải tắt thôi, k bt có đúng k nữa

\(a\left(a-x\right)^2+b\left(b-x\right)^2\left(1\right)\)

\(=\left(a+b\right)x^2-2x\left(a^2+b^2\right)+a^3+b^3\)

+) \(a+b=0\Rightarrow pt\left(1\right)\)có một nghiệm\(\Rightarrow|a|=|b|\)

+) \(a+b\ne0\)

Xét \(\Delta'=a^4+2a^2b^2+b^4-a^4-ab^3-a^3b-b^4\)

\(=2a^2b^2-ab^3-a^3b=ab\left(a-b\right)^2\)

PT(1) có 1 nghiệm  khi và chỉ khi : \(\Delta'=0\Rightarrow a-b=0\Rightarrow|a|=|b|\)

~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~