a.

Giả sử điểm cố định mà (d) đi qua có tọa độ \(M\left(x_0;y_0\right)\)

Với mọi m, ta có:

\(y_0=\left(m+2\right)x_0+m\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0+1\right)+2x_0-y_0=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+1=0\\2x_0-y_0=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(-1;-2\right)\)

b. Để (d) cắt 2 trục tạo thành tam giác thì \(m\ne\left\{0;-2\right\}\)

Khi đó ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}A\left(-\dfrac{m}{m+2};0\right)\\B\left(0;m\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OA=\left|\dfrac{m}{m+2}\right|\\OB=\left|m\right|\end{matrix}\right.\)

\(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}OA.OB=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m^2}{\left|m+2\right|}=1\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2=m+2\\m^2=-m-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=2\end{matrix}\right.\)

Bài 3 làm sao v ạ?

@Nguyễn Thành Trương

Với \(m=2\Rightarrow\) (d) chỉ cắt (P) tại 1 điểm \(\left(1;1\right)\) ko thỏa mãn

Với \(m\ne2\Rightarrow y=\frac{-2\left(m-1\right)}{m-2}x+\frac{2}{m-2}\)

Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2=\frac{-2\left(m-1\right)}{m-2}x+\frac{2}{m-2}\Leftrightarrow\left(m-2\right)x^2+2\left(m-1\right)x-2=0\) (1)

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm pb \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m-1\right)^2+2\left(m-2\right)>0\)

\(\Leftrightarrow m^2-3>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>\sqrt{3}\\m< -\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

b/ Tung độ trung điểm I của AB thỏa: \(x_I=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-m+1}{m-2}\)

\(y_I=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{x_A^2+x_B^2}{2}=\frac{\left(x_A+x_B\right)^2-2x_Ax_B}{2}=\frac{\frac{4\left(m-1\right)^2}{\left(m-2\right)^2}+\frac{4}{m-2}}{2}=\frac{2\left(m-1\right)^2}{\left(m-2\right)^2}+\frac{2\left(m-2\right)}{\left(m-2\right)^2}\)

\(\Rightarrow y_I=\frac{2m^2-2m-2}{\left(m-2\right)^2}\Rightarrow I\left(\frac{-m+1}{m-2};\frac{2m^2-2m-2}{\left(m-2\right)^2}\right)\)

c/ Viết lại pt d: \(2mx-2x+my-2y-2=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(2x+y\right)-\left(2x+2y+2\right)=0\)

\(\Rightarrow\) d luôn đi qua điểm cố định \(P\left(1;-2\right)\)

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến (d) \(\Rightarrow OH\) là k/c từ O đến (d)

Theo định lý về đường xiên - đường vuông góc ta luôn có:

\(OH\le OP\Rightarrow OH_{max}=OP\) khi \(H\) trùng P hay (d) vuông góc OP

Phương trình đường thẳng OP đi qua O và P có dạng: \(y=-2x\)

Để (d) vuông góc OP \(\Rightarrow\) tích hệ số góc của chúng bằng -1

\(-\frac{2\left(m-1\right)}{m-2}.\left(-2\right)=-1\Leftrightarrow4\left(m-1\right)=m-2\)

\(\Leftrightarrow3m=2\Rightarrow m=\frac{2}{3}\)

d/ Câu d đã giải ngay đầu câu c

Gọi M(x; y) là điểm cố định của (d), ta có:
2(m – 1)x + (m - 2)y = 2 luôn đúng với mọi m
<=> 2mx -x +my -2y =2 luôn đúng với mọi m
<=> (2x+ y)m -(x+2y+2)= 0 luôn đúng với mọi m
<=>
{2x+y= 0
{-(x+2y+2) =0
<=>
{ y= -4/3
{x= 2/3
Vậy (d) luôn đi qua điểm cố định M( 2/3; -4/3)

\(a,d//d_1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+2=-2\\m\ne3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-4\\ b,d\perp d_2\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}\left(m+2\right)=-1\Leftrightarrow m+2=-3\Leftrightarrow m=-5\\ c,d.qua.N\left(1;3\right)\Leftrightarrow x=1;y=3\Leftrightarrow3=m+2+m\\ \Leftrightarrow2m=1\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

\(d,\) Gọi điểm đó là \(A\left(x_1;y_1\right)\)

\(\Leftrightarrow y_1=\left(m+2\right)x_1+m\\ \Leftrightarrow y_1-mx_1-2x_1-m=0\\ \Leftrightarrow-m\left(x_1+1\right)+y_1-2x_1=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+1=0\\y_1-2x_1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-1\\y_1=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(A\left(-1;-2\right)\) luôn đi qua D với mọi m