Question

Cho đường thẳng (d): 2(m-1)x+(m-2)y=2

a) Tìm m để đg thẳng (d) cắt (P) y=x² tại 2 điểm phân biệt A và B

b)Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB theo m

c)Tìm m để (d) cách gốc tọa độ 1 khoảng MAX

d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi

Answer 1

@Nguyễn Thành Trương

Answer 2

Với \(m=2\Rightarrow\) (d) chỉ cắt (P) tại 1 điểm \(\left(1;1\right)\) ko thỏa mãn

Với \(m\ne2\Rightarrow y=\frac{-2\left(m-1\right)}{m-2}x+\frac{2}{m-2}\)

Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2=\frac{-2\left(m-1\right)}{m-2}x+\frac{2}{m-2}\Leftrightarrow\left(m-2\right)x^2+2\left(m-1\right)x-2=0\) (1)

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm pb \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m-1\right)^2+2\left(m-2\right)>0\)

\(\Leftrightarrow m^2-3>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>\sqrt{3}\\m< -\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

b/ Tung độ trung điểm I của AB thỏa: \(x_I=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-m+1}{m-2}\)

\(y_I=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{x_A^2+x_B^2}{2}=\frac{\left(x_A+x_B\right)^2-2x_Ax_B}{2}=\frac{\frac{4\left(m-1\right)^2}{\left(m-2\right)^2}+\frac{4}{m-2}}{2}=\frac{2\left(m-1\right)^2}{\left(m-2\right)^2}+\frac{2\left(m-2\right)}{\left(m-2\right)^2}\)

\(\Rightarrow y_I=\frac{2m^2-2m-2}{\left(m-2\right)^2}\Rightarrow I\left(\frac{-m+1}{m-2};\frac{2m^2-2m-2}{\left(m-2\right)^2}\right)\)

Answer 3

c/ Viết lại pt d: \(2mx-2x+my-2y-2=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(2x+y\right)-\left(2x+2y+2\right)=0\)

\(\Rightarrow\) d luôn đi qua điểm cố định \(P\left(1;-2\right)\)

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến (d) \(\Rightarrow OH\) là k/c từ O đến (d)

Theo định lý về đường xiên - đường vuông góc ta luôn có:

\(OH\le OP\Rightarrow OH_{max}=OP\) khi \(H\) trùng P hay (d) vuông góc OP

Phương trình đường thẳng OP đi qua O và P có dạng: \(y=-2x\)

Để (d) vuông góc OP \(\Rightarrow\) tích hệ số góc của chúng bằng -1

\(-\frac{2\left(m-1\right)}{m-2}.\left(-2\right)=-1\Leftrightarrow4\left(m-1\right)=m-2\)

\(\Leftrightarrow3m=2\Rightarrow m=\frac{2}{3}\)

d/ Câu d đã giải ngay đầu câu c