HELP ♥

\(a,\) Pt hoành độ giao điểm 

\(x=0\\ \Leftrightarrow y=-2\cdot0+3=3\\ \Leftrightarrow A\left(0;3\right)\)

Pt tung độ giao điểm

\(y=0\\ \Leftrightarrow0=-2x+3\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow B\left(\dfrac{3}{2};0\right)\)

a: Thay x=1 và y=3 vào d, ta được:

\(m-2+3m+1=3\)

\(\Leftrightarrow4m=4\)

hay m=1

Lời giải:

a. Gọi $I(x_0,y_0)$ là điểm cố định mà $(d)$ luôn đi qua. Ta có:

$y_0=(m+1)x_0-m+2, \forall m$

$m(x_0-1)+(x_0+2-y_0)=0, \forall m$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0-1=0\\ x_0+2-y_0=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_0=1\\ y_0=3\end{matrix}\right.\)

Vậy $I(1,3)$ là điểm cố định mà $d$ luôn đi qua với mọi $m$

b. 

$A(0,a)$ là giao của $(d)$ với trục $Oy$

$B(b,0)$ là giao của $(d)$ với trục $Ox$

Nếu $m=-1$ thì $y=3$

Khi đó, khoảng cách từ $O$ đến $(d)$ là $3$

Nếu $m\neq -1$ thì:

$a=(m+1).0-m+2=-m+2$

$b=\frac{m-2}{m+1}$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì khoảng cách từ $O$ đến $(d)$ là $h$ thì:

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$

$=\frac{1}{(m-2)^2}+\frac{(m+1)^2}{(m-2)^2}=\frac{m^2+2m+2}{(m-2)^2}$
$\Rightarrow h=\frac{|m-2|}{\sqrt{m^2+2m+2}}$

Có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1:

(P) đi qua A, song song với hai đường thẳng d và BC. Vectơ chỉ phương của d là v → (-3; -1; 2) và  BC → (-2; 4; 0).

Do đó  n P →  =  v →  ∧  BC →  = (-8; -4; -14).

Phương trình mặt phẳng (P) là: -8(x - 1) - 4(y - 2) - 14(z - 1) = 0 hay 4x + 2y + 7z - 15 = 0

Trường hợp 2:

(P) đi qua A, đi qua trung điểm F(1; 1; 1) của BC, và song song với d.

Ta có:  FA → (0; 1; 0),  FA →   ∧   v →  = (2; 0; 3).

Suy ra phương trình của (P) là: 2(x - 1) + 3(z - 1) = 0 hay 2x + 3z - 5 = 0.

hello

hello

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

x² + 2x -m² + 1 = 0 

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì pt này phải có hai nghiêm phân biệt x_D và x_E và x_D + x_E = 0

Áp dụng định lý Vi-et thì x_D +x_E = -2 \(\Rightarrow\)m \(\in\varnothing\)