b) Gọi tứ giác cần chứng minh là ABCD, giao điểm hai đường chéo AC và BD là O

Xét ΔABO có AO+OB>AB

Xét ΔCOD có OC+OD>CD

Xét ΔAOD có OA+OD>AD

Xét ΔBOC có OB+OC>BC

Ta có: AC+BD=AO+OB+OC+OD

\(\Leftrightarrow AC+BD>AB+CD\)

Ta có: AC+BD=AO+OD+OB+OC

\(\Leftrightarrow AC+BD>AD+BC\)

mà AC+BD>AB+CD

nên \(2\left(AC+BD\right)>AB+AD+BC+CD\)

\(\Leftrightarrow AC+BD>\dfrac{AB+AD+BC+CD}{2}\)

Xét ΔABD có BD<AB+AD

Xét ΔCBD có BD<BC+CD

Xét ΔABC có AC<AB+BC

Xét ΔADC có AC<AD+DC

Do đó: BD+BD+AC+AC<2(AB+AD+CD+BC)

\(\Leftrightarrow AC+BD< AB+AD+CD+BC\)(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra ĐPCM

 Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi tứ giác đó và nhỏ hơn chu vi tứ giác đó: 
*Theo câu 1 thì AC<p và BD < p => AC + BD < 2p tổng 2 đường chéo nhỏ hơn chu vi (đpcm) 
* giao của AC và BD là O. 
trong tam giác OAB có OB + OA > AB , trong tam giác OBC có OB + OC > BC 
trong tam giác OADcó OD + OA > AD , trong tam giác ODC có OD + OC > DC 
cổng 4 bất đẳng thức cùng chiề này lại ta có: 
2.OB + 2.OD + 2.OA + 2.OC > AB + BC + CD + DA 
<=> 2 BD + 2 AC > 2p <=> BD + AC > p tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi (đpcm) 

Bạn tham khảo ở đây : 

/hoi-dap/question/76098.html

Theo câu 1 thì AC<p và BD < p => AC + BD < 2p tổng 2 đường chéo nhỏ hơn chu vi (đpcm) 
 giao của AC và BD là O. 
trong tam giác OAB có OB + OA > AB , trong tam giác OBC có OB + OC > BC 
trong tam giác OADcó OD + OA > AD , trong tam giác ODC có OD + OC > DC 
cổng 4 bất đẳng thức cùng chiề này lại ta có: 
2.OB + 2.OD + 2.OA + 2.OC > AB + BC + CD + DA 
<=> 2 BD + 2 AC > 2p <=> BD + AC > p tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi (đpcm) 

*Theo câu 1 thì AC<p và BD < p => AC + BD < 2p tổng 2 đường chéo nhỏ hơn chu vi (đpcm) 

* giao của AC và BD là O. 

trong tam giác OAB có OB + OA > AB , trong tam giác OBC có OB + OC > BC 

trong tam giác OADcó OD + OA > AD , trong tam giác ODC có OD + OC > DC 

cổng 4 bất đẳng thức cùng chiề này lại ta có: 

2.OB + 2.OD + 2.OA + 2.OC > AB + BC + CD + DA 

<=> 2 BD + 2 AC > 2p <=> BD + AC > p tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi (đpcm)

tự đặt tên vào hình nha :))

Xét tam giác AOB; tam giác BOC; tam giác COD; tam giác AOD ta có:

AO+BO>AB;BO+CO>BC;CO+DO>CD;AO+DO>AD

(áp dụng bất đẳng thức tam giác)

⇒AO+BO+BO+CO+CO+DO+AO+DO>AB+BC+CD+AD( còn đâu tự làm )

⇒2(AO+BO+CO+DO)>AB+BC+CD+AD

=

⇒2.(AC+BD)>AB+BC+CD+AD

Giả sử tứ giác đó là ABCD , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O

\(\Rightarrow OA+OB+OB+OC+OC+OD+OD+OA>AB+BC+CD+DA\)

\(\Leftrightarrow2\left(AC+BD\right)>AB+BC+CD+AD\Leftrightarrow AC+BD>\frac{AB+BC+CD+AD}{2}\)

​\(BC+CD>BD\)

\(\Rightarrow AB+BC+AD+DC+AB+AD+BC+CD>AC+AC+BD+BD\)

\(\Leftrightarrow2\left(AB+BC+CD+DA\right)>2\left(AC+BD\right)\Leftrightarrow AB+BC+CD+DA>AC+BD\)

giả sử tứ giác ABCD có :AB=a;BC=b;CD=c;DA=d.

gọi O là giao điểm của AC và BD ta có :

tương tự AC+BD>B+D

suy ra 2(AC+BD)>A+B+C+D => AC+BD=a+b+c+d2

vậy tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác

theo bất đẳng thức tam giác ta có 

AC<a+b; AC<c+d

BD<b+c ;BD<a+d

=>2(AC+BD)<2(a+b+c+d)

=>AC+BD<a+b+c+d

vậy tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi của tứ giác 

B/ Cho Tứ giác ABCD, kẻ AC, BD, gọi O là giao của AC và BD:

ta có: AC = AO + OC < AB + BC ( BĐT )

         AC = AO + OC < AD + CD ( BĐT )

         BD = OD + OB < AC + CD ( BĐT )

         BD = OD + OB < AB +AD ( BĐT )

=> 2AO + 2BO + 2CO + 2DO < 2AB + 2BC + 2CD + 2DA

=> AO + BO + CO + DO < AB + BC + CD + DA

A/ Ta có: OA + OB> AB ( BĐT )

              OB + OC> BC ( BĐT )

              OC + OD> CD ( BĐT )

              OD + OA> AD ( BĐT )

=> 2( OA + OB + OC + OD ) > AB + BC + CD + DA

=> OA + OB + OC + OD > \(\frac{AB+BC+CD+DA}{2}\)

                                                                                                        ( TRY HARD TO STUDY, FRIEND ! )

Gọi O là giao điểm của AC và BD.Ta có :

OA + OB > AB , OB + OC > AC ; OC + CD > CD , OD + OA > AD.Cộng từng vế các bất đẳng thức trên rồi chia cho 2 ,ta được \(AC+BD>\frac{AB+BC+CD+AD}{2}\)

Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi

Kết hợp : AC + BD < AB + BC + CD + DA

Vậy \(\frac{AB+BC+CD+AD}{2}< AC+BD< AB+BC< CD+DA\)

Đặt độ dài AB = a, BC = b, CD = c, AD = d

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD

Trong ∆OAB, ta có:

OA + OA > a (bất đẳng thức tam giác)          (1)

Trong ∆OCD ta có:

Từ (1) và (2) suy ra:

OA + OB + OC + OD > a + c

\(OB+OC>BC\)

\(OC+OD>CD\)

\(OD+OA>AD\)

\(\Rightarrow2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CD+DA\Leftrightarrow AC+BD>\frac{AB+BC+CD+DA}{2}\)

\(BD< AB+AD\) ; \(BD< BC+CD\)

\(\Rightarrow2\left(AC+BD\right)< 2\left(AB+BC+CD+AD\right)\Leftrightarrow AC+BD< AB+BC+CD+AD\)

Vậy ta có : \(\frac{AB+BC+CD+AD}{2}< AC+BD< AB+BC+CD+AD\)