Cho một đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R. Lấy điểm M thuộc d, từ M kẻ tiếp tuyến MP và MQ( P và Q là các tiếp điểm). Kẻ OH vuông góc với d, PQ cắt OM tại K, cắt OH tại I. CMR:
\(\left(a\right)OH.OI=OM.OK \)
b*) Khi M di chuyển trên d thì I luôn luôn cố định.
a) Ta thấy OM là trung trực của PQ => OM vuông góc PQ => ^OKI = ^OHM = 900
=> \(\Delta\)OKI ~ \(\Delta\)OHM (g.g) => OH.OI = OK.OM (đpcm).
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có: OH.OI = OK.OM = OP2 = R2
Vì d,O đều cố định nên khoẳng cách từ O tới d không đổi hay OH không đổi
Vậy \(OI=\frac{R^2}{OH}=const\). Mà tia OI cố định nên I cố định (đpcm).
Cho M là một điểm tùy ý thuộc đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn (O;R). kẻ 2 tiếp tuyến MP,MQ với đường tròn (O) ( P và Q là các tiếp điểm). kẻ OH vuông góc d (H thuộc d). dây cung PQ cắt OH tại I, cắt OM tại K. CMR:
OI.OH=OK.OM=R^2Khi M thay đổi trên d thì vị trí của điểm I luôn cố địnhCÁC BẠN GIẢI HỘ MK NHÉ CÂU NÀO CX ĐC
Ai giúp em giải bài này với ạ :
Cho (O;R) và (d) không cắt (O). M tùy ý trên (d). Kẻ tiếp tuyến MP và MQ. Kẻ OH vuông góc (d), PQ cắt OH tai I, PQ cắt OM tại K . Chứng minh PQ luôn qua điểm cố định khi M không thay đổi .
Cho ( O ; R ) và đường thẳng xy cố định nằm ngoài ( O ) đó . Từ điểm M bát kì trên xy kẻ 2 tiếp tuyến MP , MQ tới ( O ) . Từ ( O ) kẻ OH vuông góc với xy . dây cung PQ cắt OH ở I và OM ở K . Chứng minh rằng :
a , OI . OH = OK . OM
b , Khi M thay đổi trên xy thì dây cung PQ luôn đi qua 1 điểm cố định .
Lời giải:
a)
Ta có: \(MP=MQ\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\(OP=OQ=R\)
\(\Rightarrow MO\) là đường trung trực của $PQ$
\(\Rightarrow MO\perp PQ \rightarrow \widehat{OKI}=90^0\)
Xét tam giác $OKI$ và $OHM$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \text{chung góc O}\\ \widehat{OKI}=\widehat{OHM}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle OKI\sim \triangle OHM(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{OI}{OK}=\frac{OM}{OH}\Rightarrow OI.OH=OK.OM\) (đpcm)
b)
Vì $MQ$ là tiếp tuyến $(O)$ nên $MQ\perp OG$
Xét tam giác vuông $MQO$, có đường cao $QK$ ứng với cạnh huyền $MO$, ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thì có: \(OK.OM=OQ^2=R^2\)
Kết hợp với kết quả phần a suy ra \(OI.OH=R^2\)
$O$ cố định, $xy$ cố định nên $H$ cố định, suy ra $OH$ cố định
Vậy $R^2$ và $OH$ cố định, do đó $OI$ cố định, kéo theo $I$ là điểm cố định.
Hiển nhiên $I\in PQ$ nên $PQ$ luôn đi qua điểm cố định $I$ khi $M$ thay đổi.
Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng d cố định không giao nhau. Hạ OH vuông góc với d. M là một điểm tùy ý trên d (M không trùng với H). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O; R) (P, Q là các tiếp điểm và tia MQ nằm giữa hai tia MH và MO). Dây cung PQ cắt OH và OM lần lượt tại I và K.
A) cm tứ giác OMHQ nội tiếp
B) cm góc OMH = góc OIP
C) cm khi M di chuyển trên đường thẳng d thì điểm I luôn cố định.
D) Biết OH = R√2, tính IP.IQ
Cho đường tròn (O, R) và một đường thẳng d cố định không cắt (O, R). Hạ OH vuông góc với d (). M là một điểm thay đổi trên d (M không trùng với H). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ (P, Q là tiếp điểm) với đường tròn (O, R). Dây cung PQ cắt OH ở I, cắt OM ở K.
a) Chứng minh 5 điểm O, Q, H, M, P cùng nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh IH . IO = IQ . IP
c) Chứng minh khi M thay đổi trên d thì tích IQ. IP không đổi
d) Giả sử = 60^0, tính tỉ số diện tích hai tam giác MPQ và OPQ
a.Ta có :MP,MQ là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow MP\perp OP,MQ\perp OQ\)
Mà \(OH\perp MH\Rightarrow M,H,O,P\) cùng thuộc đường tròn đường kính MO
b.Ta có : M,H,Q,O,P cùng thuộc một đường tròn
\(\Rightarrow\widehat{IHQ}=\widehat{IPQ}\)
Mà \(\widehat{HIQ}=\widehat{PIO}\Rightarrow\Delta IPO~\Delta IHQ\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{IO}{IQ}=\frac{IP}{IH}\Rightarrow IH.IO=IQ.IP\)
c.Ta có :
\(MP,MQ\) là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow PQ\perp MO\Rightarrow\widehat{OKI}=\widehat{OHM}\left(=90^0\right)\)
\(\Rightarrow\Delta OKI~\Delta OHM\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{OK}{OH}=\frac{OI}{OM}\Rightarrow OM.OK=OI.OH\)
Mà \(PK\perp OM,OP\perp MP\Rightarrow OK.OM=OP^2=R^2\)
\(\Rightarrow OI.OH=R^2\Rightarrow OI=\frac{R^2}{OH}\)
Vì \(OH\perp d\) cố định \(\Rightarrow H\)cố định \(\Rightarrow I\) cố định
\(\Rightarrow IP.IQ=IO.IH\) không đổi
d ) Ta có :
\(\widehat{PMQ}=60^0\Rightarrow\widehat{KOQ}=\widehat{KOP}=60^0\)
Mà \(OK=\frac{1}{2}OQ=\frac{1}{2}R\)Lại có : \(\widehat{MOQ}=60^0,OQ\perp MQ\Rightarrow\Delta MQO\)là nửa tam giác đều\(\Rightarrow MO=2OQ=2R\Rightarrow MK=OM-OK=\frac{3}{2}R\)\(\Rightarrow\frac{S_{MPQ}}{S_{OPQ}}=\frac{\frac{1}{2}MK.PQ}{\frac{1}{2}OK.PQ}=\frac{MK}{OK}=\frac{3}{4}\)
Từ M nằm ngoài đường tròn (O;R) kẻ các tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn ( O;R ) , ( P và Q là các tiếp điểm ). Kẻ đường kính POA . Tiếp tuyến tại A với đường tròn (O;R) cắt PQ tại B . a) CM M,P,O,Q cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OM . b) Gọi K là trung điểm của MO , tia PK cắt AQ tại I . CM PQ.PB=4R^2 và góc QBO = góc QAM
a: Xét tứ giác OPMQ có
\(\widehat{OPM}+\widehat{OQM}=90^0+90^0=180^0\)
=>OPMQ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM
=>M,P,O,Q cùng nằm trên đường tròn đường kính OM
b: Xét (O) có
ΔPQA nội tiếp
PA là đường kính
Do đó: ΔPQA vuông tại Q
=>AQ\(\perp\)QP tại Q
=>AQ\(\perp\)PB tại Q
Xét ΔAPB vuông tại A có AQ là đường cao
nên \(PQ\cdot PB=PA^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)
Bài 1: Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là 1 điểm thay đổi trên đường tròn.Kẻ CH vuông góc với
Gọi I là trung điểm của AC,OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn tại M,MB cắt CH tại K
Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt GTLN?tìm GTLN đó theo R
Bài 2: Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. M là 1 điểm thuộc dt d . Qua M kẻ tiếp tuyến MA,MB với đường tròn. Hạ OH vuông góc với d tại H.Nối Ab cắt OM tại I,OH tại K.Tia OM cắt đường tròn (O;R) tại E
Cm: E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB
Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK có diên tích lớn nhất
Bài 3 :cho 3 điểm a,b,c cố định nằm trên đường thẳng d(b nằm giữa a và c) .Vẽ đường tròn (0) cố định luôn đi qua B và C (0 là không nằm trên đường thẳng D ).Kẻ AM,AN là các tiếp tuyến với (0) tại M ,N .gọi I là trung điểm của BC,OA cắt MN tại H cắt (0) tại P và Q ( P nằm giữa A và O).BC cắt MN tại K
a.CM: O,M,N,I cùng nằm trên 1 đường tròn
b.CM điểm K cố định
c.Gọi D là trung điểm của HQ.Từ H kẻ đường thẳng vuông góc MD cắt MP tại E
d.Cm: P là trung điểm của ME
Bài 4:Cho đường tròn (O;R) đường kính CD=2R. M là 1 điểm thay đổi trên OC . Vẽ đường tròn (O') đường kính MD. Gọi I là trung điểm của MC,đường thẳng qua I vuông góc với CD cắt (O) tại E,F. đường thẳng ED cắt (O') tại P
a.Cm 3 điểm P,M,F thẳng hàng
b.Cm IP là tiếp tuyến của đường tròn (O;R)
c.Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO lớn nhất
Bài 4:
a:
Xét (O) có
ΔCED nội tiếp
CD là đường kính
=>ΔCED vuông tại E
ΔOEF cân tại O
mà OI là đường cao
nên I là trung điểm của EF
Xét tứ giác CEMF có
I là trung điểm chung của CM và EF
CM vuông góc EF
=>CEMF là hình thoi
=>CE//MF
=<MF vuông góc ED(1)
Xét (O') có
ΔMPD nội tiêp
MD là đường kính
=>ΔMPD vuông tại P
=>MP vuông góc ED(2)
Từ (1), (2) suy ra F,M,P thẳng hàng
b: góc IPO'=góc IPM+góc O'PM
=góc IEM+góc O'MP
=góc IEM+góc FMI=90 độ
=>IP là tiếp tuyến của (O')
