Cho ( O ; R ) và đường thẳng xy cố định nằm ngoài ( O ) đó . Từ điểm M bát kì trên xy kẻ 2 tiếp tuyến MP , MQ tới ( O ) . Từ ( O ) kẻ OH vuông góc với xy . dây cung PQ cắt OH ở I và OM ở K . Chứng minh rằng :
a , OI . OH = OK . OM
b , Khi M thay đổi trên xy thì dây cung PQ luôn đi qua 1 điểm cố định .
Lời giải:
a)
Ta có: \(MP=MQ\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\(OP=OQ=R\)
\(\Rightarrow MO\) là đường trung trực của $PQ$
\(\Rightarrow MO\perp PQ \rightarrow \widehat{OKI}=90^0\)
Xét tam giác $OKI$ và $OHM$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \text{chung góc O}\\ \widehat{OKI}=\widehat{OHM}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle OKI\sim \triangle OHM(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{OI}{OK}=\frac{OM}{OH}\Rightarrow OI.OH=OK.OM\) (đpcm)
b)
Vì $MQ$ là tiếp tuyến $(O)$ nên $MQ\perp OG$
Xét tam giác vuông $MQO$, có đường cao $QK$ ứng với cạnh huyền $MO$, ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thì có: \(OK.OM=OQ^2=R^2\)
Kết hợp với kết quả phần a suy ra \(OI.OH=R^2\)
$O$ cố định, $xy$ cố định nên $H$ cố định, suy ra $OH$ cố định
Vậy $R^2$ và $OH$ cố định, do đó $OI$ cố định, kéo theo $I$ là điểm cố định.
Hiển nhiên $I\in PQ$ nên $PQ$ luôn đi qua điểm cố định $I$ khi $M$ thay đổi.
