ta có: 4(p-c)(p-b)=(2p-2c)(2p-2b)=(a+b-c)(a+c-b)=[a+(b-c)].[a-(b-c)]=a^2 -(b-c)^2=a^2-b^2-c^2+2bc

1,a²-(b²+c²-2bc) = a² - (b-c)² = (a-b+c)(a+b-c) 
=(a+b+c-2b)(a+b+c-2c) = (2p-2b)(2p-2c)=4(p-b)(p-c) 
2,p²+(p-a)²+(p-b)²+(p-c)² = 4p² + (a²+b²+c²) - 2p(a+b+c) 
= (a+b+c)² + (a²+b²+c²) - (a+b+c)² = (a²+b²+c²)

\(a^2-\left(b^2+c^2-2ab\right)=a^2-\left(b-c\right)^2=\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\)

\(=\left(a+b+c-2b\right)\left(a+b+c-2c\right)=\left(2p-2b\right)\left(2p-2c\right)=4\left(p-d\right)\left(p-c\right)\)

a + b +c = 2P => b+ c = 2P -a 

=> ( b +c )^2 =( 2P -a )^ 2 => b^2 +c^2 +2bc = 4P^2 - 4Pa + a^2

      = 2bc +  b^2 +c^2 - a^2 = 4P( P -a ) => ĐPCM

4p(p-a)=2p(2p-2a)=(a+b+c)(b+c-a)=-a^2+b^2+2bc+c^2=VT=>đpcm

Ta có: 2bc+b²+c²-a²=(b²+2bc+c²)-a²

                             =(b+c)²-a² (1)

Mà: a+b+c=2p=> b+c=2p-a. Thay b+c=2p vào (1) ta có:

               (2p-a)²-a²=4p²-4ap+a²-a²=4p²-4ap=4p.(p-a) (ĐPCM)

ta gọi 4 số cần tìm là a,b,c,d 
ta có 
b = a + 1 
c = a + 2 
d = a + 3 
và tích hai số sau lớn hơn tích hai số đầu là 34 
.=> cd - ab = 34 => (a + 2)(a + 3) - a(a + 1) = 34 
=> a² + 5a + 6 - a² - a = 34 
=> 4a = 28 => a = 7 
vậy các số cần tìm là a= 7 b = 8 c = 9 d = 10

HÌ.MK LÀM Z ĐÓ.NẾU ĐÚNG TIK NHA

 ta có

a + b + c = 2p 
=> 4p(p - a) = 2(a + b + c)[(b + c - a)/2] = (a + b + c)(b + c - a) = (b + c)² - a² = b² + c² + 2bc - a²
=> đpcm 

Bài 1:
Ta có:

\(b^2+c^2-a^2+2bc=(b^2+2bc+c^2)-a^2\)

\(=(b+c)^2-a^2=(2p-a)^2-a^2\) (do \(a+b+c=2p\) )

\(=4p^2-4pa+a^2-a^2=4p^2-4pa=4p(p-a)\)

Do đó ta có đpcm.

Bài 2:

Dấu \(\Leftrightarrow \) thể hiện bài toán đúng trong cả 2 chiều.

Ta có: \(5a+2b\vdots 17\)

\(\Leftrightarrow 2(5a+2b)\vdots 17\)

\(\Leftrightarrow 10a+4b\vdots 17\)

\(\Leftrightarrow 10a+4b+17a+17b\vdots 17\)

\(\Leftrightarrow 27a+21b\vdots 17\)

\(\Leftrightarrow 3(9a+7b)\vdots 17\)

\(\Leftrightarrow 9a+7b\vdots 17\) (do 3 và 17 nguyên tố cùng nhau)

Ta có đpcm.

Xét \(VP=4p.\left(p-a\right)=2p.2.\left(p-a\right)=2p.\left(2p-2a\right)=\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\)

\(ab+ac-a^2+b^2+bc-ab+bc+c^2-ac=2bc+b^2+c^2-a^2=VT\)

Vậy ta có đpcm

2bc+b^2+c^2-a^2=(b+c)^2-a^2=(b+c-a)(b+c+a)=(2p-a-a)2p=(2p-2a)2p=2.2p(p-a)=4p(p-a)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

b/ Áp dụng BĐT ở câu a:

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\frac{4}{c}\)

Tương tự: \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\) ; \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{b}\)

Cộng vế với vế: \(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge2\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

c/ \(2p=a+b+c=18\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{18^2}{3}=108\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=6\)