a: Đặt BH=x, CH=y

Theo đề, ta có: xy=4,8²=23,04 và x+y=10

=>x và y là hai nghiệm của pt là:

\(x^2-10x+23.04=0\)

=>x=3,6 hoặc x=6,4

=>(BH;CH)=(3,6;6,4) hoặc(BH;CH)=(6,4;3,6)

TH1: BH=3,6cm; CH=6,4cm

\(AH=\sqrt{3.6\cdot6.4}=4.8\left(cm\right)\)

AM=BC/2=5cm

\(AB=\sqrt{3.6\cdot10}=6\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{6.4\cdot10}=8\left(cm\right)\)

TH2: 

CH=3,6cm; BH=6,4cm

\(AH=\sqrt{3.6\cdot6.4}=4.8\left(cm\right)\)

AM=BC/2=5cm

\(AC=\sqrt{3.6\cdot10}=6\left(cm\right)\)

\(AB=\sqrt{6.4\cdot10}=8\left(cm\right)\)

b: Đặt BH=a; CH=b

Theo đề, ta có: ab=144 và a+b=25

=>a,b là các nghiệm của pt là:

\(x^2-25x+144=0\)

=>x=9 hoặc x=16

TH1: BH=9cm; CH=16cm

\(AH=\sqrt{9\cdot16}=12\left(cm\right)\)

AM=BC/2=25/2=12,5(cm)

\(AB=\sqrt{9\cdot25}=15\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{16\cdot25}=20\left(cm\right)\)

TH2:CH=9cm; BH=16cm

\(AH=\sqrt{9\cdot16}=12\left(cm\right)\)

AM=BC/2=25/2=12,5(cm)

\(AC=\sqrt{9\cdot25}=15\left(cm\right)\)

\(AB=\sqrt{16\cdot25}=20\left(cm\right)\)

VÌ AM LÀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN ỨNG VỚI CẠNH HUYỀN

SUY RA AM=1/2*BC=1/2*10=5 CM

XÉT TAM GIÁC AHM VUÔNG TẠI H[VÌ AH LÀ ĐƯỜNG CAO]

SUY RA MH^2=AM^2-AH^2[PI TA GO]

MH^2=5^2-4,8^2

MH^2=1,96

MH=1,4

LẠI CÓ

BH=BM+MH=1/2*BC+1,4=5+1,4=6,4[CM]

TA CÓ:

CH=CM-MH=1/2BC-MH=5-1,4=3,6

TAM GIÁC ABH

AB^2=BH^2+AH^2

SUY RA AB^2=6,4^2+4,8^2=64          AB=8[CM]

TAM GIÁC ABC

AC^2=BC^2-AB^2

AC^2=10^2-8^2=36                    AC=6[CM]

*) Do \(AB>AC\Leftrightarrow BH>HC\)

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

\(AH^2=BH.HC\Leftrightarrow AH^2-BH\left(25-BH\right)=0\)

\(\Leftrightarrow12^2-25BH+BH^2=0\)

\(\Leftrightarrow156,25-25BH+BH^2=12,25\)

\(\Leftrightarrow\left(12,5-BH\right)^2=12,25\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}12,25-BH=3,5\\12,25-BH=-3,5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow BH\in\left\{9;16\right\}\Rightarrow HC\in\left\{16;9\right\}\)

Mà do \(BH>HC\Rightarrow BH=16;HC=9\)

Xét tam giác BHA vuông tại A => \(BH^2+AH^2=AB^2\Leftrightarrow AB=\sqrt{16^2+12^2}=20\)

Xét tam giác ABC vuông tại A \(\Rightarrow BC.AH=AB.AC\Leftrightarrow AC=\dfrac{BC.AH}{AB}\Leftrightarrow AC=15\)

Do tam giác ABC vuông tại A \(\Rightarrow AM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{25}{2}=12,5\)

Ta có: \(HM=MC-HC\Leftrightarrow HM=\dfrac{25}{2}-9=3,5\)

a)AB=6cm,BC=10cm
∆ABC vuông tại A đg cao AH có
#\(AC^2=BC^2-AB^2\)
AC²=100-36=64
AC=8cm
# \(AB^2=BH.BC\)
36=BH.10
BH=3,6cm
# CH=BC-BH=10-3,6=6,4cm
# \(AH^2=BH.CH\)
AH²=3,6.6,4=23,04
AH=4,8cm

b)
∆ABC vuông tại A đg cao AH có
#\(AB^2=BC^2-AC^2\)
AB²=625-400=225
AB=15cm
# \(AB^2=BH.BC\)
225=BH.25
BH=9cm
# CH= BC-BH=25-9=16cm
# \(AH.BC=AB.AC\)
AH.25=15.20=300
AH=12cm

d: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\\AH^2=HB\cdot HC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=15\left(cm\right)\\AC=20\left(cm\right)\\AH=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(a,\) Áp dụng HTL:

\(AH^2=BH\cdot HC\Rightarrow HC=\dfrac{AH^2}{BH}=10,24\left(cm\right)\\ BC=BH+CH=35,24\left(cm\right)\\ \left\{{}\begin{matrix}AB^2=HB\cdot BC=881\\AC^2=HC\cdot BC=360,8576\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{881}\left(cm\right)\\AC\approx19\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(b,\) Áp dụng HTL:

\(AB^2=BH\cdot BC\Rightarrow BC=\dfrac{AB^2}{BH}=24\left(cm\right)\\ HC=BC-BH=18\left(cm\right)\\ \left\{{}\begin{matrix}AH^2=BH\cdot HC=108\\AC^2=CH\cdot BC=432\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=6\sqrt{3}\left(cm\right)\\AC=12\sqrt{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(c,\) Áp dụng HTL:

\(BC=BH+HC=13\left(cm\right)\\ \left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC=117\\AC^2=CH\cdot BC=52\\AH^2=BH\cdot CH=36\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=3\sqrt{13}\left(cm\right)\\AC=2\sqrt{13}\left(cm\right)\\AH=6\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)