a) Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm AB(gt)

N là trung điểm BC(gt)

=> MN là đường trung bình

=> MN//AC

Mà AC⊥AB(tam giác ABC vuông tại A)

=> MN⊥AB(từ vuông góc đến song song)

b) Xét tam giác ABC vuông tại A:

\(BC^2=AB^2+AC^2\left(pytago\right)\)

\(\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2=13^2-12^2=25\Rightarrow AC=5\left(cm\right)\)

Ta có: MN là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow MN=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}.5=2,5\left(cm\right)\)

theo giả thiết ta có:BM=MA;BN=NC\(\Rightarrow\) MN là dg trung bình của tam giác ABC

                                                    \(\rightarrow\) MN song song vs BC\(\rightarrow\) góc BMN=BAC(đồng vị)

b/vì BM=MA ;BN=NC SUY RA:BM=MA=12:2=6 cm và BN=NC=BC:2=13:2=6.5 cm

áp dụng định lý pi-ta-go cho tam giác BNM vuông tại m:MN²=BN²+BM²

                                                                                                      ^{thay số}:MN²=6²+6.5²

                                                                                                    MN²=78.25 cm\(\Rightarrow\)MN=\(\sqrt{78.25}\)

\(a,\) \(\left\{{}\begin{matrix}AM=MB\\BN=NC\end{matrix}\right.\Rightarrow\) MN là đường trung bình tam giác ABC 

\(\Rightarrow MN//AC\Rightarrow MN\perp AB\left(AC\perp AB\right)\)

\(b,MN=\dfrac{1}{2}AC\left(tính.chất.đtb\right)\)

Mà \(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5\left(cm\right)\left(pytago\right)\)

\(\Rightarrow MN=\dfrac{5}{2}\left(cm\right)\)

\(c,\left\{{}\begin{matrix}AM=MB\\AP=PC\end{matrix}\right.\Rightarrow\) MP là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow MP=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{13}{2}\left(cm\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}AP=PC\\BN=NC\end{matrix}\right.\Rightarrow\) NP là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow NP=\dfrac{1}{2}AB=6\left(cm\right)\)

a: Xét ΔBAC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của BC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: MN//AC và \(MN=\dfrac{AC}{2}\)

hay MN\(\perp\)AB

b: Xét ΔABC vuông tại A có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

hay AC=5(cm)

\(\Leftrightarrow MN=2.5\left(cm\right)\)

a:BC=20cm

MN=10cm

a) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có 

AB=AC(ΔBAC cân tại A)

AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: BH=HC(hai cạnh tương ứng)

a) Xét ΔANH và ΔAHC có:

∠(NAH) chung

∠(ANH) = ∠(AHN) = 90o

⇒ ΔANH ∼ ΔAHC (g.g)

b) Ta có :

Tương tự : CH = 5 (cm)

⇒ BC = BH + CH = 9 + 5 = 14 (cm)

c) Theo chứng minh trên ta có:

Chứng minh tương tự ta có :

ΔAMH ∼ ΔAHB ⇒ AH2 = AM.AB (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AN.AC = AM.AB (3)

Xét ΔAMN và ΔACB có :

∠A chung

AN.AC = AM.AB

⇒ ΔAMN ∼ ΔACB (c.g.c)

d) Ta có : ΔAMH ∼ ΔAHB

Lại có ΔAMN ∼ ΔACB (cmt)

Xét ΔBAC vuông tại A có 

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

hay AC=16(cm)

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của BC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: MN//AC và \(MN=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{16}{2}=8\left(cm\right)\)

Xét tứ giác AMNC có MN//AC

nên AMNC là hình thang

mà \(\widehat{A}=90^0\)

nên AMNC là hình thang vuông

Câu 1:

Vì M,N là trung điểm AB,BC nên MN là đtb tg ABC

Do đó \(MN=\dfrac{1}{2}AC=8\left(cm\right)\)

Câu 2:

Vì \(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=\widehat{EAF}=90^0\) nên AEMF là hcn

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AP là đường trung tuyến

nên \(AP=\dfrac{BC}{2}=5\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có

M,N lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>MN là đường trung bình của ΔABC

=>MN//BC và \(MN=\dfrac{1}{2}BC\)

=>\(MN=\dfrac{1}{2}\cdot10=5\left(cm\right)\)

b: Xét ΔABC có

N,P lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>NP là đường trung bình của ΔABC

=>NP//AB và \(NP=\dfrac{AB}{2}\)

Ta có: NP//AB

M\(\in\)AB

Do đó: NP//AM

ta có: \(NP=\dfrac{AB}{2}\)

\(AM=\dfrac{AB}{2}\)=MB

Do đó; NP=AM=MB

Xét tứ giác AMPN có

AM//NP

AM=NP

Do đó: AMPN là hình bình hành

Hình bình hành AMPN có \(\widehat{MAN}=90^0\)

nên AMPN là hình chữ nhật