Áp dụng Bunyakovsky, ta có :

\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x.1+y.1\right)^2=1\)

=> \(\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\)

=> \(Min_C=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Mấy cái kia tương tự 

1:

a: =x^2-7x+49/4-5/4

=(x-7/2)^2-5/4>=-5/4

Dấu = xảy ra khi x=7/2

b: =x^2+x+1/4-13/4

=(x+1/2)^2-13/4>=-13/4

Dấu = xảy ra khi x=-1/2

e: =x^2-x+1/4+3/4=(x-1/2)^2+3/4>=3/4

Dấu = xảy ra khi x=1/2

f: x^2-4x+7

=x^2-4x+4+3

=(x-2)^2+3>=3

Dấu = xảy ra khi x=2

2:

a: A=2x^2+4x+9

=2x^2+4x+2+7

=2(x^2+2x+1)+7

=2(x+1)^2+7>=7

Dấu = xảy ra khi x=-1

b: x^2+2x+4

=x^2+2x+1+3

=(x+1)^2+3>=3

Dấu = xảy ra khi x=-1

3A=3(x^2-x+1)/(x^2+x+1)

3A-1=(3x^2-3x+3)/(x^2+x+1)-1

3A-1=(3x^2-3x+3-x^2-x-1)/(x^2+x+1)

3A-1=(2x^2-4x+2)/(x^2+x+1)

3A-1=2(x-1)^2/(x^2+x+1)>=0

=>3A>=1

A>=1/3

=>GTNN của A là 1/3 khi x-1=0 hay x=1 

A-3=(x^2-x+1)/(x^2+x+1)-3

A-3=(x^2-x+1-3x^2-3x-3)/(x^2+x+1)

A-3=(-2x^2-4x-2)/(x^2+x+1)

A-3=-2(x+1)^2/(x^2+x+1)<=0

=>A<=3

=>GTLN của A=3 khi x=-1 

con H=(x^2+x+1)/(x^2-x+1)

\(x^2+x+\frac{1}{x^2}+2x+2=\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x+1\right)^2-1=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(x+1\right)^2-1\ge-1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức trên là -1 khi x=-1.

a.

$A=x^2-8x+5=(x^2-8x+16)-11=(x-4)^2-11$

Do $(x-4)^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow A=(x-4)^2-11\geq 0-11=-11$

Vậy $A_{\min}=-11$. Giá trị này đạt tại $x-4=0\Leftrightarrow x=4$

b.

$B=2x^2+6x-4=2(x^2+3x+1,5^2)-\frac{17}{2}=2(x+1,5)^2-\frac{17}{2}$

$\geq 2.0-\frac{17}{2}=-\frac{17}{2}$

Vậy $B_{\min}=\frac{-17}{2}$ tại $x=-1,5$

c. Biểu thức này không có min, chỉ có max

d.

$D=x^2-x+1=(x^2-2.\frac{1}{2}.x+\frac{1}{2^2})+\frac{3}{4}$
$=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\geq 0+\frac{3}{4}$

Vậy $D_{\min}=\frac{3}{4}$. Giá trị này đạt tại $x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

\(A=\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{\left(x-4\right)^2}+\sqrt{\left(x-6\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\left|x-4\right|+\left|x-6\right|\)

\(=\left|x-1\right|+\left|x-4\right|+\left|x-6\right|\)

\(=\left|x-4\right|+\left(\left|x-1\right|+\left|x-6\right|\right)\)

\(=\left|x-4\right|+\left(\left|x-1\right|+\left|6-x\right|\right)\)

Ta có \(\hept{\begin{cases}\left|x-4\right|\ge0\forall x\\\left|x-1\right|+\left|6-x\right|\ge\left|x-1+6-x\right|=\left|5\right|=5\end{cases}}\)

=> \(\left|x-4\right|+\left(\left|x-1\right|+\left|6-x\right|\right)\ge5\forall x\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x-4=0\\\left(x-1\right)\left(6-x\right)\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\1\le x\le6\end{cases}}\Leftrightarrow x=4\)

=> MinA = 5 <=> x = 4

Ta có: \(A=\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{\left(x-4\right)^2}+\sqrt{\left(x-6\right)^2}\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x-4\right)^2}+\sqrt{\left(x-6\right)^2}\)

\(=\left|x-1\right|+\left|x-4\right|+\left|x-6\right|\)

\(=\left|x-4\right|+\left|x-1\right|+\left|x-6\right|\)

Xét \(\left|x-1\right|+\left|x-6\right|\)ta có: 

\(\left|x-1\right|+\left|x-6\right|=\left|x-1\right|+\left|6-x\right|\ge\left|x-1+6-x\right|=\left|5\right|=5\)(1)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(6-x\right)\ge0\)

TH1: Nếu \(\hept{\begin{cases}x-1< 0\\6-x< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x< 1\\6< x\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x< 1\\x>6\end{cases}}\)( vô lý )

TH2: Nếu \(\hept{\begin{cases}x-1\ge0\\6-x\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge1\\6\ge x\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge1\\x\le6\end{cases}}\Leftrightarrow1\le x\le6\)

mà \(\left|x-4\right|\ge0\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow A\ge5\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-4=0\\1\le x\le6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\1\le x\le6\end{cases}}\Leftrightarrow x=4\)

Vậy \(minA=5\)\(\Leftrightarrow x=4\)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+m+3=m^2-m+4=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{2}>0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-m-3\end{matrix}\right.\)

a.

\(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=4\left(m-1\right)^2+2\left(m+3\right)=4m^2-6m+10\)

\(=4\left(m-\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{31}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

Dấu = xảy ra khi \(m=\dfrac{3}{4}\)

b.

\(x_1^2+x_2^2=8m^3-8m^2\)

\(\Leftrightarrow4m^2-6m+10=8m^3-8m^2\)

\(\Leftrightarrow8m^3-12m^2+6m-1=9\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^3=9\)

\(\Leftrightarrow2m-1=\sqrt[3]{9}\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{1+\sqrt[3]{9}}{2}\)

a: Δ=(2m-2)^2-4(-m-3)

=4m^2-8m+4+4m+12

=4m^2-4m+16

=4m^2-4m+1+15=(2m-1)^2+15>0

=>Phương trình luôn có 2 nghiệm pb

A=x1^2+x2^2

=(x1+x2)^2-2x1x2

=(2m-2)^2-2(-m-3)

=4m^2-8m+4+2m+6

=4m^2-6m+10

=4(m^2-3/2m+5/2)

=4(m^2-2*m*3/4+9/16+31/16)

=4(m-3/4)^2+31/4>=31/4

Dấu = xảy ra khi m=3/4

b: x1^2+x2^=8m^3-8m^2

=>4m^2-6m+10=8m^3-8m^2

=>8m^3-8m^2-4m^2+6m-10=0

=>8m^3-12m^2+6m-10=0

=>\(m\simeq1,54\)