9T1

9T1

Bạn viết sai rồi, đường thẳng y-mx+2 =0 hay y=mx+2 vậy bạn?

(d): \(y=\left(m^2+3\right)x+4\)

=>\(\left(m^2+3\right)x-y+4=0\)

Khoảng cách từ O(0;0) đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\dfrac{\left|0\cdot\left(m^2+3\right)+0\cdot\left(-1\right)+4\right|}{\sqrt{\left(m^2+3\right)^2+\left(-1\right)^2}}\)

\(=\dfrac{4}{\sqrt{\left(m^2+3\right)^2+1}}\)

\(m^2+3>=3\forall m\)

=>\(\left(m^2+3\right)^2>=9\forall m\)

=>\(\left(m^2+3\right)^2+1>=10\forall m\)

=>\(\sqrt{\left(m^2+3\right)^2+1}>=\sqrt{10}\forall m\)

=>\(\dfrac{4}{\sqrt{\left(m^2+3\right)^2+1}}< =\dfrac{4}{\sqrt{10}}\forall m\)

=>\(d\left(O;\left(d\right)\right)< =\dfrac{4}{\sqrt{10}}\forall m\)

Vậy: Khoảng cách từ O(0;0) đến (d) lớn nhất bằng \(\dfrac{4}{\sqrt{10}}=\dfrac{4\sqrt{10}}{10}=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}\) khi m=0

\(\Leftrightarrow mx+2x+my-y-1=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x+y\right)+2x-y-1=0\)

\(\Rightarrow d\) luôn đi qua điểm cố định A có tọa độ là nghiệm của hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=0\\2x-y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{3}\\y=-\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(\frac{1}{3};-\frac{1}{3}\right)\)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên d \(\Rightarrow OAH\) vuông tại H

\(\Rightarrow OH\le OA\Rightarrow OH_{max}=OA\) khi \(H\) trùng A \(\Rightarrow d\perp OA\)

Phương trình OA có dạng: \(y=-x\)

\(\Rightarrow\) d có hệ số góc bằng 1

\(\left(m+2\right)x+\left(m-1\right)y-1=0\Rightarrow y=\frac{m+2}{1-m}x-\frac{1}{1-m}\)

\(\Rightarrow\frac{m+2}{1-m}=1\Rightarrow m+2=1-m\Rightarrow m=-\frac{1}{2}\)