a)  Xét  \(\Delta RAB\)và    \(\Delta QAD\)có:

    \(\widehat{RAB}=\widehat{QAD}\) (cùng phụ với góc  BAQ)

    \(AB=AD\) (gt)

    \(\widehat{RBA}=\widehat{QDA}=90^0\)

suy ra:    \(\Delta RAB=\Delta QAD\) (g.c.g)

\(\Rightarrow\) \(AR=AQ\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta AQR\)vuông cân tại A

chứng minh tương tự được:   \(\Delta APS\)vuông cân tại A

b)   \(\Delta AQR\)cân tại A, AM là trung tuyến  =>   AM đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow\)\(\widehat{AMH}=90^0\)   (1)

\(\Delta ASP\)cân tại A, AN là trung tuyến  =>   AN đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow\)\(\widehat{ANH}=90^0\)  (2)

\(\Delta RSP\) có  \(PA\perp RS;\) \(SC\perp RP;\) \(PA\Omega SC=Q\)

\(\Rightarrow\)\(Q\)là trực tâm   \(\Delta RSP\)

\(\Rightarrow\)\(RQ\perp PS\)

hay   \(RH\perp PS\)\(\Rightarrow\)\(\widehat{RHS}=90^0\)  (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra    \(AMHN\)là hình chữ nhật

c)  RC là đường cao \(\Delta SQR\)

     SH  là đường cao  \(\Delta SQR\)

mà   \(RC\Omega SH=P\)

\(\Rightarrow\)P  là trực tâm \(\Delta SQR\)

d)   \(\Delta ARQ\) vuông tại A  có  AM là trung tuyến

\(\Rightarrow\)\(AM=\frac{1}{2}RQ\)

    \(\Delta RCQ\) vuông tại C  có  CM là trung tuyến

\(\Rightarrow\)\(CM=\frac{1}{2}RQ\)

suy ra:   \(AM=CM\)

\(\Rightarrow\)\(M\)thuộc trung trực AC

chứng minh tương tự đc:     N thuộc trung trực AC

suy ra:   MN  là trung trực AC

e)  Ta có:  MN là trung trực AC

                BD  là trung trực AC   (do ABCD là hình vuông)

=>  M, B, N, D thẳng hàng

p/s: hình tự vẽ

a) Ta có: ^BAR+^DAR=^BAD=90⁰ (1)

               ^DAQ+^DAR=90⁰ (Do PQ vuông góc AR) (2)

Từ (1) và (2) => ^BAR=^DAQ

Xét \(\Delta\)ABR và \(\Delta\)ADQ:

^ABR=^ADQ=90⁰

AB=AD                             => \(\Delta\)ABR=\(\Delta\)ADQ (g.c.g)

^BAR=^DAQ

=> AR=AQ (2 cạnh tương ứng) . Xét tam giác AQR:

AR=AQ, ^QAR=90⁰ => \(\Delta\)AQR là tam giác vuông cân tại A.

Tương tự: \(\Delta\)ADS=\(\Delta\)ABP (g.c.g)

=> AS=AP, ^PAS=90⁰ => \(\Delta\)APS vuông cân tại A.

b) \(\Delta\)AQR vuông cân tại A, M là trung điểm của QR => AM vuông góc QR (3)

Tương tự: AN vuông góc với PS (4)

Lại có: AM là phân giác của ^QAR (Do \(\Delta\)AQR...) => ^MAR=45⁰

           AN là phân giác của ^PAS => ^SAN=45⁰

=> ^MAR+^SAN=^MAN=90⁰ (5)

Từ (3), (4) và (5) => Tứ giác AMHN là hình chữ nhật (đpcm)

c) Vì tứ giác AMHN là hcn => ^MHN=90⁰ => MH vuông góc với PS hay QH vuông góc với PS

Xét \(\Delta\)SQR: PQ vuông góc RS tại A, PS vuông góc QR tại H

=> P là trực tâm của tam giác SQR (đpcm).

d) Ta thấy \(\Delta\)PCS vuông tại C (PC vuông góc QS), N là trung điểm của PS => CN=PN=SN.

Lại có: Tam giác APS vuông cân tại A, N là trung điểm PS => AN=PN=SN

=> CN=AN => N nằm trên đường trung trực của AC (6)

Tương tự: Tam giác QCR vuông tại C, M là trung điểm QR => CM=QM=RM

              Tam giác AQR vuông cân A, M là trung điểm QR => AM=QM=RM

=> CM=AM => M nằm trên đường trung trực của AC (7) 

Từ (6) và (7) =>  MN là trung trực của AC (đpcm). (8)

e) Xét hình vuông ABCD: 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường

=> BD là trung trực của AC (9)

Từ (8) và (9) => M;B;N;D thẳng hàng (đpcm).

a) Xét tam giác vuông ABR và ADQ có:

AB = AD (gt)

Góc BAR + góc BAP = 90 độ

Góc DAQ + góc BAP = 90 độ

=> Góc BAR = Góc DAQ

=> Tam giác vuông ABR = tam giác vuông ADQ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

=> AR = AQ (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác AQR cân tại A.

CMTT ta có tam giác ADS = tam giác ABP

=> AS = AP => Tam giác APS cân tại A.

b) Tam giác AQR cân tại A => Trung tuyến AM đồng thời là đường cao.

=> AM vuông góc với QR => Góc AMH = 90 độ

Tương tự: Tam giác APS cân tại A => Trung tuyến AN đồng thời là đường cao.

=> AN vuông góc với SP => góc ANP = 90 độ hay góc ANH= 90 độ.

Tam giác AQR vuông cân tại A => Góc AQR = góc ARQ = 45 độ => Góc PQH = 45 độ.

Tam giác APS vuông cân tại A => góc ASP = góc APS = 45 độ => góc QPH = 45 độ (đối đỉnh).

Xét tam giác PHQ có: Góc PQH + góc QPH = 45 độ + 45 độ = 90 độ

=> Tam giác PHQ vuông cân tại H => PH vuông góc với PQ

=> góc NHM = 90 độ

Xét tứ giác AMHN có: Góc AMH = góc ANH = góc NHM = 90 độ

=> AMHN là hình chữ nhật (dhnb)

c) Xét tam giác SQR có:

BC vuông góc CD => RC vuông góc SQ => RC là đường cao.

AP vuông góc AR => QA vuông góc RS => QA là đường cao.

Mà RC cắt QA tại P

Vậy P là trực tâm tam giác SQR.

d) Tam giác ANP vuông tại A có trung tuyến AN => AN = SP/2

    Tam giác CSP vuông tại C có trung tuyến CN => CN = SP/2

=> AN = CN => N thuộc trung trực của AC.

CMTT ta có MA = MC => M thuộc trung trực của AC.

Vậy MN là trung trực của AC.

e) Ta có BA = BC (gt) => B thuộc trung trực của AC.

Mà MN là trung trực của AC (cmt) => B thuộc MN

Tương tự DA = DC (gt) => D thuộc trung trực của AC.

Mà MN là trung trực của AC (cmt) => D thuộc MN

Vậy M, B, N, D thẳng hàng.

Trần Hùng Luyện Nguyễn Thanh Hằng DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG Nguyễn Việt Lâm tran nguyen bao quan saint suppapong udomkaewkanjana Dương Nguyễn

E làm ra rồi. Cảm ơn mọi người