Lời giải:

a)

Vì $K$ nằm trên đường trung trực của $AD$ nên $KA=KD$

\(\Rightarrow \triangle KAD\) cân tại $K$
\(\Rightarrow \widehat{KDA}=\widehat{KAD}\)

Mà: \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) (do $AD$ là tia phân giác góc A)

\(\Rightarrow \widehat{KDA}+\widehat{BAD}=\widehat{KAD}+\widehat{CAD}\)

\(\Leftrightarrow \widehat{ABK}=\widehat{CAK}\)

Xét tam giác $ABK$ và $CAK$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \widehat{K}-\text{chung}\\ \widehat{ABK}=\widehat{CAK}(cmt)\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle ABK\sim \triangle CAK(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{AK}{CK}=\frac{BK}{AK}\Rightarrow KA^2=KB.KC\) (đpcm)

b)

Theo kết quả phần a:

\(KA^2=KB.KC\). Mà $KA=KD$ nên:

\(KD^2=KB.KC\)

\(\Leftrightarrow (KB+BD)^2=KB(KB+BC)\)

\(\Leftrightarrow (KB+2)^2=KB(KB+5)\)

\(\Leftrightarrow KB=4\) (cm)

Do đó:

\(KD=KB+BD=4+2=6\) (cm)

Vậy.........

Hình vẽ:

a) Xét ΔABC có 

AD là đường phân giác ứng với cạnh BC(gt)

nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

hay \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{2}\)

Ta có: BD+CD=BC(D nằm giữa B và C)

nên BC=2+4=6(cm)Xét ΔABC có 

AF là đường phân giác góc ngoài ứng với cạnh BC(gt)

nên \(\dfrac{FB}{FC}=\dfrac{AB}{AC}\)(Tính chất đường phân giác góc ngoài)

\(\Leftrightarrow\dfrac{FC}{FB}=\dfrac{AC}{AB}=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{FC-FB}{FB}=\dfrac{AC-AB}{AB}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BC}{FB}=1\)

hay FB=6(cm)

Ta có: FB+BD=FD(B nằm giữa F và D)

nên FD=6+2=8(cm)

Vậy: FD=8cm

a)   \(\Delta ABC\)có    \(AD\)  là phân giác   \(\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)

hay  \(\frac{BD}{8}=\frac{DC}{10}=\frac{BD+DC}{8+10}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}\)

suy ra:    \(BD=\frac{8}{2}=4\)

              \(DC=\frac{10}{2}=5\)