Xét hàm \(f\left(x\right)=\left(2m^2+3m+4\right)x^4+x-1\)

\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng thuộc R

\(f\left(0\right)=-1< 0\)

\(f\left(1\right)=2m^2+3m+4=2\left(m+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{23}{8}>0\) ; \(\forall m\)

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\)  ; \(\forall m\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng \(\left(0;1\right)\) với mọi m hay pt đã cho luôn có nghiệm

\(\Leftrightarrow\left(m^2-2m+3\right)x=2m-1\)

Do \(m^2-2m+3=\left(m-1\right)^2+2\ne0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

a)PT: \(x^2-2\left(m-1\right)x+2m-5=0\)

\(\Rightarrow\Delta=\left(-2\left(m-1\right)\right)^2-4.1.\left(2m-5\right)\\ =4m^2-16m+24=\left(2m-4\right)^2+8\ge8\left(\forall m\in R\right)\)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) với mọi m.

p/s: phần (b) mình sẽ giúp bạn trả lời sau nha!

\(x^2-2\left(m-1\right)x-2m=0\)

\(\text{Δ}=\left(-2m+2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2m\right)\)

\(=4m^2-8m+4+8m=4m^2+4>=4>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

hihi

1/ \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m^2-m-3=m^2+2m+1-2m^2-m-3\)

\(=-m^2+m-2=-\left(m^2-m+\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{2}\le-\frac{3}{2}\)

=> pt vô nghiệm với mọi m

2/ Vì \(m^2+1\ge1\forall m\)

\(\Rightarrow\Delta'=\left(m+2\right)^2-6\left(m^2+1\right)\)

\(=m^2+4m+4-6m^2-6=-5m^2+4m-2\)

\(=-5\left(m^2+\frac{4}{5}m+\frac{4}{25}\right)-\frac{6}{5}\le-\frac{6}{5}\)

=> pt vô nghiệm với mọi m

3/\(\Delta'=\left(m-3\right)^2-2m^2+7m-10\)

\(=m^2-6m+9-2m^2+7m-10=-m^2+m-1\)

\(=-\left(m^2-m+\frac{1}{4}\right)-\frac{3}{4}\le-\frac{3}{4}\)

=> pt vô nghiệm với mọi m