Gọi O là giao điểm của AA' và BB'. Ta sẽ chứng minh rằng các đường thẳng CC', DD' cũng đi qua O. Thật vậy:

\(\frac{OB'}{OB}=\frac{OA'}{OA}=\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}\)

Do đó tam giác OB'C' và tam giác OBC đồng dạng (c.g.c)

=> góc B'OC' = góc BOC

từ đó  C, O, C' thẳng hàng hay CC' đi qua O

tương tự DDO' 

a) Ta có:

⇒ Ax // (Cz,Dt)

Từ Ax, AB ⊂ (Ax,By) suy ra (Ax, By) // (Cz, Dt)

Tương tự ta có (Ax, Dt) // (By,Cz)

b)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.

c) Gọi O, O’ lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD, A’B’C’D’. Dễ thấy OO’ là đường trung bình của hình thang AA’, suy ra 

Tương tự ta có:

a) Do ABCD là hình bình hành, nên AB // DC

=> AB // (Cz, Dt) (1)

Theo giả thiết Ax // Dt nên Ax // (Cz, Dt) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (Ax, By) // (Cz, Dt)

b) Mặt phẳng β cắt 2 mặt phẳng song song ( Ax, By), (Cz, Dt) theo hai giao tuyến là A’B’và C’D’ nên A’B’// C’D’. (3)

Chứng minh tương tự (Ax, Dt) song song với (By,Cz).Và mặt phẳng β cắt 2 mặt phẳng song song (Ax, Dt), (By, Cz) theo hai giao tuyến là A’D’và B’C’ nên A’D’// B’C’ (4)

Từ (3) và (4) suy ra: tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.

=> J là trung điểm của A’C’ ( tính chất hình bình hành).

Tứ giác AA’C’C là hình thang vì có: AA’ // CC’ ( giả thiết). Lại có, I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’ nên IJ là đường trung bình của hình thang

=> IJ// AA’// CC’ ( đpcm).

c) Vì IJ là đường trung bình của hình thang ACC’A’ nên IJ = 1/2(AA’ + CC’)

IJ cũng là đường trung bình của hình thang BDD’B’: IJ = 1/2(BB’ + DD’)

Từ đây suy ra: DD’ + BB’ = AA’ + CC’

=> DD’ = AA’ + CC’ – BB’ = a + c – b