Giải:

Đặt \(d=UCLN\left(n+2;2n+5\right)\)

Ta có:

\(n+2⋮d\Rightarrow2\left(n+2\right)⋮d\Rightarrow2n+4⋮d\)

\(2n+5⋮d\)

\(\Rightarrow2n+5-2n-4⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=UCLN\left(n+2;2n+5\right)=1\)

\(\Rightarrow n+2\) và 2n + 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Gọi d là ƯCLN_{( n+2 ; 2n + 5 )}

\(\Rightarrow\begin{cases}n+2⋮d\\2n+5⋮d\end{cases}\)

=> (2n+5) - 2(n+2) ⋮ d

=> 1 ⋮ d

=> d = 1

Vậy ...............

gọi d là ƯC(2n + 3; 3n + 4)

=> 2n + 3 ⋮ d và 3n + 4 ⋮ d

=> 3(2n + 3) ⋮ d và 2(3n + 4) ⋮ d

=> 6n + 9 ⋮ d và 6n + 8 ⋮ d

=> 6n + 9 - 6n - 8 ⋮ d

=> 1 ⋮ d 

=> d = + 1

=> 2n + 3 và 3n + 4 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Gọi UCLN (2n+3;3n+4) = d

=> 2n+3 chia hết cho d

=> 3n+4 chia hết cho d

=> 2n+3.3+3.3 chia hết cho d

=> 3n.2+4.2 chia hết cho d

=> 6n+9-6n+8 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

Vậy ...

2n + 3 và 3n + 4

Gọi UCLN(2n+3;3n+4) = d ( d Thuộc N*)

=> 2n+3 Chia hết cho d => 3.( 2n + 3 ) Chia hết cho d = 6n + 9 Chia hết cho d (1)

     3n+4 Chia hết cho d => 2.( 3n + 4 ) Chia hết cho d = 6n + 8 Chia hết cho d (2)

từ  (1) và (2)

=> [ ( 6n + 9 ) - ( 6n + 8 ) ] Chia hết cho d

<=>                1          Chia hết cho d

Mà d Thuộc N*

=> d = 1

Vậy 2n + 3 và 3n + 4  là 2 số nguyên tố cùng nhau

Bài 1: Gọi hai số lẻ liên tiếp là $2k+1$ và $2k+3$ với $k$ tự nhiên.

Gọi $d=ƯCLN(2k+1, 2k+3)$

$\Rightarrow 2k+1\vdots d; 2k+3\vdots d$

$\Rightarrow (2k+3)-(2k+1)\vdots d$

$\Rightarrow 2\vdots d\Rightarrow d=1$ hoặc $d=2$

Nếu $d=2$ thì $2k+1\vdots 2$ (vô lý vì $2k+1$ là số lẻ)

$\Rightarrow d=1$

Vậy $2k+1,2k+3$ nguyên tố cùng nhau. 

Ta có đpcm.

Bài 2:

a. Gọi $d=ƯCLN(n+1, n+2)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; n+2\vdots d$

$\Rightarrow (n+2)-(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $(n+1, n+2)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. 

b.

Gọi $d=ƯCLN(2n+2, 2n+3)$

$\Rightarrow 2n+2\vdots d; 2n+3\vdots d$

$\Rightarrow (2n+3)-(2n+2)\vdots d$ hay $1\vdots d$
$\Rightarrow d=1$.

Vậy $(2n+2, 2n+3)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Bài 2:

c.

Gọi $d=ƯCLN(2n+1, n+1)$

$\Rightarrow 2n+1\vdots d; n+1\vdots d$
$\Rightarrow 2(n+1)-(2n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$

Vậy $ƯCLN(2n+1, n+1)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

d.

Gọi $d=ƯCLN(n+1, 3n+4)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; 3n+4\vdots d$

$\Rightarrow 3n+4-3(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $ƯCLN(n+1, 3n+4)=1$

$\Rightarrow$ 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Gọi:

d=UCLN(n,n-1)

Ta có: n chia hết cho d

n-1 chia hết cho d

=> n-(n-1) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d=> d=1

Vậy: n và n-1 ntcn 

b) gọi như vậy ta có:

7(2n+1)-14n+6 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d=>d=1

Vậy 2n+1 và 14n+6 ntcn

Bài 1: Gọi d=ƯCLN(3n+11;3n+2)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3n+11⋮d\\3n+2⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(3n+11-3n-2⋮d\)

=>\(9⋮d\)

=>\(d\in\left\{1;3;9\right\}\)

mà 3n+2 không chia hết cho 3

nên d=1

=>3n+11 và 3n+2 là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 2:

a:Sửa đề: \(n+15⋮n-6\)

=>\(n-6+21⋮n-6\)

=>\(n-6\in\left\{1;-1;3;-3;7;-7;21;-21\right\}\)

=>\(n\in\left\{7;5;9;3;13;3;27;-15\right\}\)

mà n>=0

nên \(n\in\left\{7;5;9;3;13;3;27\right\}\)

b: \(2n+15⋮2n+3\)

=>\(2n+3+12⋮2n+3\)

=>\(12⋮2n+3\)

=>\(2n+3\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;4;-4;6;-6;12;-12\right\}\)

=>\(n\in\left\{-1;-2;-\dfrac{1}{2};-\dfrac{5}{2};0;-3;\dfrac{1}{2};-\dfrac{7}{2};\dfrac{3}{2};-\dfrac{9}{12};\dfrac{9}{2};-\dfrac{15}{2}\right\}\)

mà n là số tự nhiên

nên n=0

c: \(6n+9⋮2n+1\)

=>\(6n+3+6⋮2n+1\)

=>\(2n+1\inƯ\left(6\right)\)

=>\(2n+1\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\)

=>\(n\in\left\{0;-1;\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2};1;-2;\dfrac{5}{2};-\dfrac{7}{2}\right\}\)

mà n là số tự nhiên

nên \(n\in\left\{0;1\right\}\)