Đề : Cho (O), K là 1 điểm nằm ngoài đường tròn . KA;KD là các tiếp tuyến , KBC là 1 cát tuyến bất kì .Gọi E;F;G lần lượt là hình chiếu của D trên AB;AC;BC .Chứng minh rằng G là trung điểm EF.
Giải:
Trước tiên chứng minh E;F;G thẳng hàng .Đây chính là đường thẳng simson .
(*)Chứng minh G là trung điểm EF: Chứng minh trực tiếp trên hình vẽ có vẻ rất khó khăn nên tìm cách hạ đường vuông góc từ E;F xuống BC; sau đó chứng minh các khoảng cách bằng nhau.Từ đây ta lại nghĩ đến định lý thales nên hạ đường cao từ A xuống BC.
Kẻ EP; FQ; AH vuông góc với BC ( P;Q;H thuộc BC) \(\Rightarrow EP//AH//FQ\)
Theo định lý thales thì : \(\dfrac{EP}{AH}=\dfrac{EB}{AB}\); \(\dfrac{FQ}{AH}=\dfrac{FC}{AC}\) .Việc còn lại là chứng minh \(\dfrac{EB}{AB}=\dfrac{FC}{AC}\)hay \(\dfrac{EB}{FC}=\dfrac{AB}{AC}\)
Dễ dàng chứng minh:\(\Delta DBE\)~\(\Delta DCF\)(g.g) \(\Rightarrow\dfrac{EB}{FC}=\dfrac{DB}{DC}\)
Và \(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{KP}{KD}=\dfrac{KP}{KA}=\dfrac{AB}{AC}\) .Suy ra đpcm.
Do đó EP=FQ nên G là trung điểm EF
P/s: E Mượn chỗ gõ
