Lời giải:

PT $\Leftrightarrow x^3+3x-5=x^2y+2y=y(x^2+2)$

$\Rightarrow y=\frac{x^3+3x-5}{x^2+2}$

Để $y$ nguyên thì $x^3+3x-5\vdots x^2+2$

$\Leftrightarrow x(x^2+2)+x-5\vdots x^2+2$

$\Leftrightarrow x-5\vdots x^2+2(1)$

$\Rightarrow x^2-5x\vdots x^2+2$

$\Leftrightarrow x^2+2-(5x+2)\vdots x^2+2$

$\Leftrightarrow 5x+2\vdots x^2+2(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow 5(x-5)-(5x+2)\vdots x^2+2$

$\Leftrightarrow 27\vdots x^2+2$. Do $x^2+2\geq 2$ nên:

$\Rightarrow x^2+2\in\left\{3;9;27\right\}$

$\Rightarrow x^2\in\left\{1;7;25\right\}$

Do $x$ nguyên nên $x\in\left\{\pm 1; \pm 5\right\}$

Thay vào $y$ ta tìm được: 

$x=-1\Rightarrow y=-3$

$x=5\Rightarrow y=5$

Đáp án: A

x,y là số nguyên phải không bạn ?

Trần Phúc Khang đúng rồi bạn, mình bị thiếu í

Ta có: \(\left(x+2y\right)\left(3x+4y\right)=96\) ( x,y nguyên)

Lại có: \(3x+4y-\left(x+2y\right)=2x+2y\) ( chẵn)

=> 3x+4y , x+2y cùng chẵn hoặc cùng lẻ ( 1)

Mà (x+2y)(3x+4y)=96 chẵn 

=> 3x+4y, x+2y cùng chẵn hoặc là một chẵn 1 lẻ ( 2)

Từ (1) và (2) => 3x+4y, x+2y cùng chẵn

Ta có bảng sau: 

Vậy ...

x=4; y=1

ta có 96=6.16

xy là các số nguyên nên 3x+4y>x+2y

do đó xy là các nghiệm nguyên dương của phương trình khi

3x+4y+16

x+2y=6

giẢI hệ ta được x=4 y=1

vậy nghiệm của phương trình là (4,1)

\(\left\{{}\begin{matrix}2x^3+x^2y=3\left(1\right)\\2y^3+xy^2=3\end{matrix}\right.\)

Trừ vế theo vế hai phương trình ta được:

\(2\left(x^3-y^3\right)+\left(x^2y-xy^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+xy\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(2x^2+3xy+2y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[2\left(x+\dfrac{9}{16}y\right)^2+\dfrac{7}{8}y^2\right]=0\left(2\right)\)

Do \(2\left(x+\dfrac{9}{16}y\right)^2+\dfrac{7}{8}y^2\ge0\), đẳng thức xảy ra khi \(x=y=0\)

Thay vào phương trình ta thấy \(x=y=0\) không phải là nghiệm 

\(\Rightarrow2\left(x+\dfrac{9}{16}y\right)^2+\dfrac{7}{8}y^2>0\)

Khi đó \(\left(2\right)\Leftrightarrow x=y\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow2x^3+x^3=3\Leftrightarrow x=y=1\)

\(\Rightarrow x_0^3+y_0^3=2\)

tập làm quen gõ công thức toán học đi bạn? :D 

\(\Leftrightarrow\left(2x^2-3\right)y=x^2+1\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{x^2+1}{2x^2-3}\)

\(y\in Z\Rightarrow2y\in Z\Rightarrow\dfrac{2x^2+2}{2x^2-3}\in Z\Rightarrow1+\dfrac{5}{2x^2-3}\in Z\)

\(\Rightarrow2x^2-3=Ư\left(5\right)=\left\{-1;1;5\right\}\)

\(\Rightarrow x^2=\left\{1;2;4\right\}\Rightarrow x=\left\{1;2\right\}\)

- Với \(x=1\Rightarrow y=-2< 0\left(loại\right)\)

- Với \(x=2\Rightarrow y=1\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\)

\(x^2+x+xy-2y^2-y=5\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2x+2xy-4y^2-2y=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+1\right)-\left(y^2+2y+1\right)+\left(x^2+2xy+y^2\right)\)\(-4y^2=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2-\left(y+1\right)^2+\left(x+y\right)^2-4y^2=10\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x+1\right)^2-4y^2\right]+\left[\left(x+y\right)^2-\left(y+1\right)^2\right]=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-2y+1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2y+1\right)=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-2y+1+x-1\right)=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(2x-2y\right)=10\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=5\)

Vì \(x,y>0\left(x,y\inℤ\right)\Rightarrow x+2y+1\inℤ^+\)

Mà \(\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=5\)

Do đó \(\left(x-y\right)\inℤ^+\)

Vì \(x+2y+1\ge x-y>0\)(vì \(x;y\in Z^+\))

\(\Rightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=5.1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2y+1=5\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2y+1=5\\x=y+1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y+1+2y+1=5\\x=y+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3y+2=5\\x=y+1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3y=3\\x=y+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\x=y+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\x=2\end{cases}}\)(thỏa mãn \(x,y\inℤ^+\))

Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\)

Lưu ý : tớ ghi \(ℤ^+\)là chỉ số nguyên dương, ghi vào vở bạn nên ghi là "số nguyen dương" thôi.