Một trong các nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\cos x+\sin x\) là hàm số \(\sin x-\cos x\) . Từ định lí nếu hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) trên khoảng (a,b) thì trên khoảng đó nó có vô số nguyên hàm và hai nguyên hàm bất kì của cùng một hàm cho trên khoảng (a,b) là sai khác nhau một hằng số cộng. suy ra mọi nguyên hàm số đã cho đều có dạng \(F\left(x\right)=\sin x-\cos x+C\), trong đó C là hằng số nào đó. 

Để xác định hằng số C ta sử dụng điều kiện F(0)=1

Từ điều kiện này và biểu thức F(x) ta có :

\(\sin0-\cos0+C=1\Rightarrow C=1+\cos0=2\)

Do đó hàm số \(F\left(x\right)=\sin x-\cos x+2\) là nguyên hàm cần tìm

Lời giải:

Ta có:

\(F(x)=\int f(x)dx=\int e^x\cos xdx\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=e^x\\ dv=\cos xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=e^xdx\\ v=\int \cos xdx=\sin x\end{matrix}\right.\)

Do đó:

\(F(x)=\int e^x\cos xdx=e^x\sin x-\int \sin x.e^xdx+c\) (1)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=e^x\\ dv=\sin xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=e^xdx\\ v=\int \sin xdx=-cos x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \int \sin x.e^xdx=-\cos x.e^x+\int \cos x.e^xdx+c\) (2)

Từ (1)(2) suy ra:

\(F(x)=e^x.\sin x+\cos x.e^x-\int \cos x.e^xdx+c\)

\(\Leftrightarrow F(x)=e^x\sin x+e^x\cos x-F(x)+c\)

\(\Leftrightarrow F(x)=\frac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)+c\)

Do đó: \(a=b=\frac{1}{2}\)

Chọn A.

F ' ( x ) = sin x - cos x ' sin x - cos x = cos x + sin x sin x - cos x

Đáp án C

Chọn C

Đáp án D

Biến đổi :

\(4\sin x+3\cos x=A\left(\sin x+2\cos x\right)+B\left(\cos x-2\sin x\right)=\left(A-2B\right)\sin x+\left(2A+B\right)\cos x\)

Đồng nhất hệ số hai tử số, ta có :

\(\begin{cases}A-2B=4\\2A+B=3\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}A=2\\B=-1\end{cases}\)

Khi đó \(f\left(x\right)=\frac{2\left(\left(\sin x+2\cos x\right)\right)-\left(\left(\sin x-2\cos x\right)\right)}{\left(\sin x+2\cos x\right)}=2-\frac{\cos x-2\sin x}{\sin x+2\cos x}\)

Do đó, 

\(F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\int\left(2-\frac{\cos x-2\sin x}{\sin x+2\cos x}\right)dx=2\int dx-\int\frac{\left(\cos x-2\sin x\right)dx}{\sin x+2\cos x}=2x-\ln\left|\sin x+2\cos x\right|+C\)

Vì hai làm lượng giác \(y = \sin x,y = \cos x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \sin x + \cos x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)