=> 2A =2 + 22 + 23 + ... + 2²⁰²⁰

 => 2A-A =( 2 + 22 + 23 + ... + 2²⁰²⁰)- (1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22019)

=> A =2²⁰²⁰-1

=> A+1 =2²⁰²⁰

Vậy A + 1 là một số chính phương

Lời giải:
$(2300-22):1+1=2279$

Tổng $A$ là:
$4+\frac{(2300+22).2279}{2}=2645923$. Số này lẻ nên không thể là lũy thừa cơ số 2. 

Ta có A = 2A – A = 2( 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 50 ) – ( 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 50 )

=  2 + 4 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 51  – ( 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 50 )

= 6 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 51  – ( 7 + 2 3 + . . . + 2 50 ) =  2 51 - 1

Suy ra : A + 1 =  2 51

Vậy A+1 là một lũy thừa của 2

THI TỰ LÀM

Khiêm tốn, thật thà, dũng cảm :D

cho hỏi đi mừ

thi với thằng em đúng là thất bại khi nó là con gái

a) P = 1 + 3 + 3² + ... + 3¹⁰¹

= (1 + 3 + 3²) + (3³ + 3⁴ + 3⁵) + ... + (3⁹⁹ + 3¹⁰⁰ + 3¹⁰¹)

= 13 + 3³.(1 + 3 + 3²) + ... + 3⁹⁹.(1 + 3 + 3²)

= 13 + 3³.13 + ... + 3⁹⁹.13

= 13.(1 + 3³ + ... + 3⁹⁹) ⋮ 13

Vậy P ⋮ 13

b) B = 1 + 2² + 2⁴ + ... + 2²⁰²⁰

= (1 + 2² + 2⁴) + (2⁶ + 2⁸ + 2¹⁰) + ... + (2²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁸ + 2²⁰²⁰)

= 21 + 2⁶.(1 + 2² + 2⁴) + ... + 2²⁰¹⁶.(1 + 2² + 2⁴)

= 21 + 2⁶.21 + ... + 2²⁰¹⁶.21

= 21.(1 + 2⁶ + ... + 2²⁰¹⁶) ⋮ 21

Vậy B ⋮ 21

c) A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸) + ... + (2¹⁷ + 2¹⁸ + 2¹⁹ + 2²⁰)

= 30 + 2⁴.(2 + 2² + 2³ + 2⁴) + ... + 2¹⁶.(2 + 2² + 2³ + 2⁴)

= 30 + 2⁴.30 + ... + 2¹⁶.30

= 30.(1 + 2⁴ + ... + 2¹⁶)

= 5.6.(1 + 2⁴ + ... + 2¹⁶) ⋮ 5

Vậy A ⋮ 5

d) A = 1 + 4 + 4² + ... + 4⁹⁸

= (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) + ... + (4⁹⁷ + 4⁹⁸ + 4⁹⁹)

= 21 + 4³.(1 + 4 + 4²) + ... + 4⁹⁷.(1 + 4 + 4²)

= 21 + 4³.21 + ... + 4⁹⁷.21

= 21.(1 + 4³ + ... + 4⁹⁷) ⋮ 21

Vậy A ⋮ 21

e) A = 11⁹ + 11⁸ + 11⁷ + ... + 11 + 1

= (11⁹ + 11⁸ + 11⁷ + 11⁶ + 11⁵) + (11⁴ + 11³ + 11² + 11 + 1)

= 11⁵.(11⁴ + 11³ + 11² + 11 + 1) + 16105

= 11⁵.16105 + 16105

= 16105.(11⁵ + 1)

= 5.3221.(11⁵ + 1) ⋮ 5

Vậy A ⋮ 5

a) \(A=1+2+2^2+...+2^{80}\)

\(2A=2+2^2+2^3+...+2^{81}\)

\(2A-A=2+2^2+2^3+...+2^{81}-1-2-2^2-...-2^{80}\)

\(A=2^{81}-1\)

Nên A + 1 là:

\(A+1=2^{81}-1+1=2^{81}\)

b) \(B=1+3+3^2+...+3^{99}\)

\(3B=3+3^2+3^3+...+3^{100}\)

\(3B-B=3+3^2+3^3+...+3^{100}-1-3-3^2-...-3^{99}\)

\(2B=3^{100}-1\)

Nên 2B + 1 là:

\(2B+1=3^{100}-1+1=3^{100}\)

2) 

a) \(2^x\cdot\left(1+2+2^2+...+2^{2015}\right)+1=2^{2016}\)

Gọi:

\(A=1+2+2^2+...+2^{2015}\)

\(2A=2+2^2+2^3+...+2^{2016}\)

\(A=2^{2016}-1\)

Ta có:

\(2^x\cdot\left(2^{2016}-1\right)+1=2^{2016}\)

\(\Rightarrow2^x\cdot\left(2^{2016}-1\right)=2^{2016}-1\)

\(\Rightarrow2^x=\dfrac{2^{2016}-1}{2^{2016}-1}=1\)

\(\Rightarrow2^x=2^0\)

\(\Rightarrow x=0\)

b) \(8^x-1=1+2+2^2+...+2^{2015}\)

Gọi: \(B=1+2+2^2+...+2^{2015}\)

\(2B=2+2^2+2^3+...+2^{2016}\)

\(B=2^{2016}-1\)

Ta có:

\(8^x-1=2^{2016}-1\)

\(\Rightarrow\left(2^3\right)^x-1=2^{2016}-1\)

\(\Rightarrow2^{3x}-1=2^{2016}-1\)

\(\Rightarrow2^{3x}=2^{2016}\)

\(\Rightarrow3x=2016\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{2016}{3}\)

\(\Rightarrow x=672\)