Ta có:

\(\left|x+3\right|+\left|x-1\right|=\left|x+3\right|+\left|1-x\right|\ge\left|x+3+1-x\right|=4\)

\(3-y^2-2y=4-\left(y^2+2y+1\right)=4-\left(y+1\right)^2\le4\)

\(\Rightarrow\left|x+3\right|+\left|x-1\right|\ge3-y^2-2y\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+3\right)\left(1-x\right)\ge0\\y+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3\le x\le1\\y=-2\end{matrix}\right.\)

Các cặp số nguyên thỏa mãn là:

\(\left(x;y\right)=\left(-3;-2\right);\left(-2;-2\right);\left(-1;-2\right);\left(0;-2\right);\left(1;-2\right)\)

TH 1: \(x^2+y^2< 1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}|x|< 1\\|y|< 1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow S=x+2y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+y< 1+\sqrt{2}\left(1\right)\)

TH 2: \(x^2+y^2>1\)

\(\Rightarrow x^2-x+y^2-y\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(S-2y\right)^2-\left(S-2y\right)+y^2-y\le0\)

\(\Leftrightarrow5y^2+\left(1-4S\right)y+S^2-S\le0\)

\(\Rightarrow\Delta=\left(1-4S\right)^2-4.5.\left(S^2-S\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow S\le\frac{5+\sqrt{10}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra được GTLN của S

PS: S là đặt cho nó gọn nhé