Cho tam giác abc có bc=a góc a=α và 2 đường trung tuyến bm vuông với cn.tính diện tích abc theo a và α
Cho tam giác ABC, có BC = a, góc A = α và hai trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Tính S.ABC
Gọi G là giao điểm BM và CN. Đặt AB=c, AC=b
Ta có: \(BM^2=\dfrac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{4}\) ; \(\Rightarrow BG^2=\left(\dfrac{2}{3}BM\right)^2=\dfrac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{9}\)
\(CN^2=\dfrac{2\left(a^2+b^2\right)-c^2}{4}\Rightarrow CG^2=\dfrac{2\left(a^2+b^2\right)-c^2}{9}\)
Mặt khác \(BG^2+CG^2=BC^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{9}+\dfrac{2\left(a^2+b^2\right)-c^2}{9}=a^2\)
\(\Rightarrow b^2+c^2=5a^2\)
Áp dụng định lý hàm cos:
\(cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{5a^2-a^2}{2bc}=\dfrac{2a^2}{bc}\Rightarrow bc=\dfrac{2a^2}{cos\alpha}\)
\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}bcsinA=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2a^2}{cos\alpha}.sin\alpha=a^2.tan\alpha\)
Cho tam giác ABC có BC = a, góc BAC = 60 độ và hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Tính diện tích tam giác
Cho hình lăng trụ A B C . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác A' BC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), M là trung điểm cạnh CC'. Tính cosin góc α giữa hai đường thẳng AA' và BM.
A. cos α = 2 22 11
B. cos α = 11 11
C. cos α = 33 11
D. cos α = 22 11
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác A' BC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), M là trung điểm cạnh CC'. Tính cosin góc α giữa hai đường thẳng AA' và BM.
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a và tam giác ABC đều. Một điểm M thuộc cạnh BC sao cho BM= x ( 0< x< a), mặt phẳng (α) đi qua M song song với SA và SB. Biết rằng mp (α) cắt hình chóp theo 1 tứ giác. Tính diện tích thiết diện theo a và x
A. 3 4 a 2 - x 2
B. 3 2 a 2 - x 2
C. 2 4 a 2 - x 2
D. 1 4 a 2 - x 2
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, đường trung tuyến BM, đường phân giác CD đồng quy tại O. Biết BC =aα, tính AB, AC theo a
Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABC có 3 cát tuyến AH,BM,CD đồng quy: \(\frac{MA}{MC}.\frac{HC}{HB}.\frac{DB}{DA}=1\Rightarrow\frac{HC}{HB}=\frac{AD}{BD}\)
(Vì M trung điểm AC nên \(\frac{MA}{MC}=1\))
(Định lí Ceva này bạn có thể lên google search để nắm rõ, Định lí này chỉ học sinh trong đội tuyển mới học thoi)
Vì CD là phân giác \(\widehat{BCA}\)nên \(\frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}\Rightarrow\frac{AC}{BC}=\frac{HC}{HB}=\frac{BC-HB}{HB}=\frac{BC}{HB}-1\)
\(\Rightarrow AC=\frac{BC^2}{HB}-BC=\frac{AB^2+AC^2}{HB}-BC=\frac{HB.BC+AC^2}{HB}-BC=\frac{AC^2}{HB}\Rightarrow AC=HB\)
( Chỗ này áp dụng định lí Pythagoras: BC2 = AB2+AC2 và Hệ thức lượng tam giác vuông AB2=HB.BC)
Có \(\hept{\begin{cases}AB^2=HB.BC\\BC^2=AB^2+AC^2\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}AB^2=aAC\\AB^2=a^2-AC^2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}AB=\sqrt{aAC}\\AC^2+aAC-a=0\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AC=\frac{-a+\sqrt{a^2+4a}}{2}=\frac{2a}{a+\sqrt{a^2+4a}}\\AB=\sqrt{aAC}=\sqrt{\frac{2a^2}{a+\sqrt{a^2+4a}}}\end{cases}}\)
Cho tam giác ABC vuông tại A; BC = a không đổi, C ^ = α 0 0 < α < 90 0
Lập công thức để tính diện tích tam giác ABC theo a và
A. 1 2 a 2 sin α . cos α
B. a 2 sin α . cos α
C. 2 a 2 sin α . cos α
D. 3 a 2 sin α . cos α
Xét ∆ ABC vuông tại A ta có: A B = B C . sin α = a . sin α A C = B C . cos α = a . c o s α
Đáp án cần chọn là: A
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM,CN vuông góc với nhau và có BC= 4 , góc BAC = 30 độ.Tính diện tích của tam giác ABC.
Xét tam giác ABC vuông tại A, gọi α là góc tạo bởi 2 đg trung tuyến BM và CN của tam giác. Cmr: sinα ≤ 3/5
Gọi I là giao điểm MB, CN thì I là trọng tâm tam giác
\(sin\widehat{ACN}=\dfrac{AB}{2CN}=\dfrac{AB}{\sqrt{4AC^2+AB^2}}\) ; \(BM=\sqrt{\dfrac{AC^2}{4}+AB^2}\Rightarrow IM=\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{AC^2}{4}+AB^2}\)
Ta có: \(\dfrac{sin\widehat{CIM}}{CM}=\dfrac{sin\widehat{ACN}}{IM}\Leftrightarrow sin\alpha=\dfrac{CM}{IM}sin\widehat{ACN}=\dfrac{AC}{\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{AC^2}{4}+AB^2}}.\dfrac{AB}{\sqrt{4AC^2+AB^2}}\)
\(\Leftrightarrow sin\alpha=\dfrac{3AB.AC}{\sqrt{\left(4AB^2+AC^2\right)\left(4AC^2+AB^2\right)}}\le\dfrac{3AB.AC}{5AB.AC}=\dfrac{3}{5}\)
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; tam giác A’BC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) M là trung điểm của cạnh CC’. Tính cosin góc α là góc giữa hai đường thẳng AA’ và BM
A. cos α = 2 22 11
B. cos α = 11 11
C. cos α = 33 11
D. cos α = 22 11
Đáp án C
Ta có cos α = cos C C ' ; B M ^ = cos B M C ^ .
Cạnh A ' H = B C 3 2 = a 3 2 , A H = A B 3 2 = a 3 2
A A ' = A ' H 2 + A H 2 = a 6 2 ⇒ M C = a 6 4 .
Cạnh B ' H = A ' B ' 2 + A ' H 2 = a 7 2 .
Do đó cos B ' B H ^ = B B ' 2 + B H 2 - B ' H 2 2 B B ' . B H = 0 ⇒ B ' B ⊥ B H
⇒ M C ⊥ B C ⇒ c o s M B C ^ = M C B M = M C B C 2 + M C 2 = 33 11 .