1. Gọi a là số tận cùng là 7, khi đó ta thấy :

Các số có dạng a⁴ⁿ,\(n\in N\) đều có chữ số tận cùng là 1, các số có dạng a⁴ⁿ⁺¹, \(n\in N\) đều có chữ số tận cùng là 7, các số có dạng a⁴ⁿ⁺², \(n\in N\) có chữ số tận cùng là 9 và các số có dạng  a⁴ⁿ⁺³, \(n\in N\) đều có chữ số tận cùng là 3. Vậy 1997¹⁹⁹⁷ có tận cùng là 7.

Tương tự như vậy, gọi b là số có tận cùng là 3. Các số có dạng b⁴ⁿ,\(n\in N\)đều có chữ số tận cùng là 1, các số có dạng b⁴ⁿ⁺¹, \(n\in N\) đều có chữ số tận cùng là 3, các số có dạng b⁴ⁿ⁺², \(n\in N\) có chữ số tận cùng là 9 và các số có dạng a⁴ⁿ⁺³,  \(n\in N\)  đều có tận cùng là 7. Vậy 2003²⁰⁰³ có tận cùng là 7.

Từ đó ta có 2003²⁰⁰³ - 1997¹⁹⁹⁷ có chữ số tận cùng là 0. Vậy 0,3(2003²⁰⁰³ - 1997¹⁹⁹⁷) là số tự nhiên.

2. Đang tìm quy luật -_-

http://h.vn/hoi-dap/question/94327.html

mình bó tay

\(=\frac{\left(a-b\right)^3-c^3+3ab\left(a-b\right)-3abc}{a^2+2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2+2ca+a^2}\)

\(=\frac{\left(a-b-c\right)\left(a^2-2ab+b^2+ac-bc+c^2\right)+3ab\left(a-b-c\right)}{\left(a-b-c\right)^2+a^2+b^2+c^2}\)

\(=\frac{\left(\cdot a-b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2+ac+ab-bc\right)}{4+a^2+b^2+c^2}\)

\(=\frac{2a^2+2b^2+2c^2+2ab-2bc+2ca}{4+a^2+b^2+c^2}\)

\(=\frac{\left(a-b-c\right)^2+a^2+b^2+c^2}{4+a^2+b^2+c^2}=1\)

k mk nha

\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)=\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\left(1\right)\\16x^5-20x^3+5\sqrt{xy}=\sqrt{\dfrac{y+1}{2}}\left(2\right)\end{matrix}\right.\).

ĐKXĐ: \(xy>0;y\ge-\dfrac{1}{2}\).

Nhận thấy nếu x < 0 thì y < 0. Suy ra VT của (1) âm, còn VP của (1) dương (vô lí)

Do đó x > 0 nên y > 0.

Với a, b > 0 ta có bất đẳng thức \(\left(a+b\right)^4\le8\left(a^4+b^4\right)\).

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

\(\left(a+b\right)^4\le\left[2\left(a^2+b^2\right)\right]^2=4\left(a^2+b^2\right)^2\le8\left(a^4+b^4\right)\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(\left(\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\right)^4\le8\left[8\left(x^4+y^4\right)+16x^2y^2\right]=64\left(x^2+y^2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\right)^2\le8\left(x^2+y^2\right)\). (3)

Lại có \(4\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)^2=4\left(\dfrac{x^6}{y^4}+2xy+\dfrac{y^6}{x^4}\right)\). (4) 

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có \(\dfrac{x^6}{y^4}+xy+xy+xy+xy\ge5x^2;\dfrac{y^6}{x^4}+xy+xy+xy+xy\ge5y^2;3\left(x^2+y^2\right)\ge6xy\).

Cộng vế với vế của các bđt trên lại rồi tút gọn ta được \(\dfrac{x^6}{y^4}+2xy+\dfrac{y^6}{x^4}\ge2\left(x^2+y^2\right)\). (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra \(4\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)^2\ge\left(\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\right)^2\Rightarrow2\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)\ge\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\).

Do đó đẳng thức ở (1) xảy ra nên ta phải có x = y.

Thay x = y vào (2) ta được:

\(16x^5-20x^3+5x=\sqrt{\dfrac{x+1}{2}}\). (ĐK: \(x>0\))

PT này có một nghiệm là x = 1 mà sau đó không biết giải ntn :v

ấy nhầm, phải là 3^4 x 91 nhưng nó vẫn thế

Số số hạng của A là:

(2006 - 0) : 2 + 1 = 1004 (số)

Nếu ta nhóm 3 số 1 ở A thì có số nhóm là:

1004 : 3 = 334 (dư 2)

Ta có:

A = (1 + 3^2) + (3^4 + 3^6 + 3^8) +...+ (3^2002 + 3^2004 + 3^2006)

A = (1 + 3^2) + 3^4(1 + 3^2 + 3^4) +...+ 3^2002(1 + 3^2 + 3^4)      

A = 10 + 3^4.13 +...+ 3^2002.13

A = 10 + 13(3^4 +...+ 3^2002)

Vì 13 chia hết cho 13 nên 13(3^4 +...+ 3^2002) chia hết cho 13, mà 10 chia 13 dư 10 nên 10 + 13(3^4 +...+ 3^2002) chia 13 dư 10 hay A chia 13 dư 10 (ĐPCM)

Giải thích tại saoA=10+3^4 nhân 13

\(\frac{2006x2005-1}{2004x2006+2005}\)

=\(\frac{2005-1}{2004+2005}\)

=\(\frac{2004}{4009}\)

mik ko hiểu nguyễn tạo nguyên ơi

OKKKKK

Ta có:

\(a+b=c+d\)

\(\Leftrightarrow a+c=b+d\)

\(\Leftrightarrow-a+b-c+d=0\)

\(\Leftrightarrow P\left(-1\right)=a.\left(-1\right)^3+b.\left(-1\right)^2+c.\left(-1\right)+d\)

\(\Leftrightarrow-a+b-c+d=0\)

Vậy đa thức \(P\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\) có 1 trong nghiệm bằng \(-1\) nếu \(a+b=c+d\) (Đpcm)