\(ĐK:2\le x\le10\)

\(PT\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-2\right)+\left(\sqrt{10-x}-2\right)=x^2-12x+36\\ \Leftrightarrow\dfrac{x-6}{\sqrt{x-2}+2}+\dfrac{6-x}{\sqrt{10-x}+2}-\left(x-6\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left(x-6\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x-2}+2}-\dfrac{1}{\sqrt{10-x}+2}-x+6\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=6\left(tm\right)\\\dfrac{1}{\sqrt{x-2}+2}-\dfrac{1}{\sqrt{10-x}+2}-x+6=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Với \(x\le10\Leftrightarrow\left(1\right)\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}+2}-\dfrac{1}{2}-10+6< 0\Leftrightarrow x\in\varnothing\)

Vậy \(x=6\)

\(1+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{35}{12x}\left(x< -1;1< x\right)\)

Với \(x< -1\) thì pt vô nghiệm

Xét \(x>1\)

\(PT\Leftrightarrow x+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{35}{12}\left(nhân.x.2.vế\right)\\ \Leftrightarrow x^2+\dfrac{x^2}{x^2-1}+\dfrac{2x^2}{\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{1225}{144}\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^4}{x^2-1}+\dfrac{2x^2}{\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{1225}{144}\\ \Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}\right)^2+\dfrac{2x^2}{\sqrt{x^2-1}}-\dfrac{1225}{144}=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{25}{12}\left(tm\right)\\\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=-\dfrac{49}{12}\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{x^4}{x^2-1}=\dfrac{625}{144}\\ \Leftrightarrow144x^4-625x^2+625=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{3}\left(tm\right)\\x=\dfrac{5}{4}\left(tm\right)\\x=-\dfrac{5}{4}\left(tm\right)\\x=-\dfrac{5}{3}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{3}\\x=\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)

* Điều kiện:  \(2\le x\le10\)

* Nhận xét:

VP = x² -12x + 40 = (x-6)² + 4 => \(VP\ge4\) . Xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi (x-6)² = 0 => x = 6

VT =  \(\sqrt{x-2}+\sqrt{10-x}=1.\sqrt{x-2}+1.\sqrt{10-x}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bi-nhi-a Cốp-xki  ta có:

VT \(\le\sqrt{\left(1^2+1^2\right).\left(\sqrt{\left(x-2\right)^2}+\sqrt{\left(10-x\right)^2}\right)}=4\)

Xảy ra dấu bằng khi \(\sqrt{x-2}=\sqrt{10-x}\) => x = 6

Như vậy: \(VP\ge4;VT\le4\) 

=> PT có nghiệm khi và chỉ khi VP = VT = 4 => x = 6

\(t=\sqrt{x-2}+\sqrt{10-x}\)

\(\Rightarrow t^2=8+2\sqrt{-x^2+12x-20}\)\(\Rightarrow-x^2+12x-20=\left(\frac{t^2}{2}-4\right)^2=\frac{t^4}{4}-4t^2+16\)

\(pt\rightarrow t=-\left(\frac{t^4}{4}-4t^2+16\right)+20\Leftrightarrow\left(t-4\right)\left(t^3+4t^2+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow t=4\text{ }\left(do\text{ }t>0\right)\)

\(\Rightarrow-x^2+12x-20=\left(\frac{t^2}{2}-4\right)^2=16\Leftrightarrow x=6\)

Mình xin trình bày lời giải cho bài này.
Áp dụng bất đẳng thức bunha:
(√x−2+√10−x)2≤(1+1)(x−2+10−x)≤16(x−2+10−x)2≤(1+1)(x−2+10−x)≤16
⇒√x−2+√10−x≤4⇒x−2+10−x≤4
x2−12x+40=(x−6)2+4≥4x2−12x+40=(x−6)2+4≥4
⇒VT≤4≤VP⇒VT≤4≤VP
dâu "=" xảy ra ⇔VT=4=VP⇔VT=4=VP
⇔x=6⇔x=6
Thay x=6 vào phương trình ban đầu ta thấy thỏa
Kết luận: x=6 là nghiệm duy nhất 

xét vế trái :

\(\sqrt[]{x-2}+\sqrt{10-x}=< \sqrt{2\left(x-2+10-x\right)}=< 4\)

=>vp=<4

=>\(x^2-12x+40=< 4\)

=>\(\left(x-6\right)^2=< 0\)

=> xảy ra dấu = <=>x=6

vậy pt có nghiệm là 6

Asp dụng BĐT Bunha, ta có:

\(\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{10-x}\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x-2+10-x\right)\le16\)

\(\Rightarrow\sqrt{x-2}+\sqrt{x-10}\le4\)

\(x^2-12x+40=\left(x-6\right)^2+4\ge4\)

\(\Rightarrow VT\le4\le VT\)

Dấu " = " xảy ra khi \(\Leftrightarrow VT=4=VT\)

\(\Leftrightarrow x=6\)

Thanks bạn Wrecking ball rất nhiều

ko biết

ĐKXĐ: \(2\le x\le10\)

Ta có \(VT\le\sqrt{2\left(x-2+10-x\right)}=4\)

\(VT=x^2-12x+36+4=\left(x-6\right)^2+4\ge4\)

\(\Rightarrow VT\ge VP\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2=10-x\\x-6=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=6\)