a: căn bậc hai của một số a không âm là một số x thỏa mãn \(x^2=a\)

b: Căn bậc hai của một số a bất kỳ là một số x sao cho x thỏa mãn \(x^3=a\)

a: Cho \(a\in R;n\in Z^+\) thì \(a^n=a\cdot a\cdot...\cdot a\)(n chữ số a)

b: \(a^0=1\)

\(\sqrt{25}=5=\sqrt{5^2}\)

Đáp án đúng là √(-5)²; √5².

a) Ta thấy trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\): Đồ thị nằm trên trục hoành

=> \(f\left( x \right) = {x^2} + 3x + 2 > 0\)\(\forall x \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\)

Trên \(\left( { - 2; - 1} \right)\): Đồ thị nằm dưới trục hoành

=> \(f\left( x \right) = {x^2} + 3x + 2 < 0\)\(\forall x \in \left( { - 2; - 1} \right)\)

Trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\): Đồ thị nằm trên trục hoành

=> \(f\left( x \right) = {x^2} + 3x + 2 > 0\)\(\forall x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\)

b)

Trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\): Đồ thị nằm dưới trục hoành

=> \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 4x - 3 < 0\)\(\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right)\)

Trên \(\left( {1;3} \right)\): Đồ thị nằm trên trục hoành

=> \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 4x - 3 > 0\)\(\forall x \in \left( {1;3} \right)\)

Trên \(\left( {3; + \infty } \right)\): Đồ thị nằm dưới trục hoành

=> \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 4x - 3 < 0\)\(\forall x \in \left( {3; + \infty } \right)\)

c) Nếu \(\Delta  > 0\) thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu vưới hệ số a với mọi x thuộc các khoảng \(\left( { - \infty ;{x_1}} \right)\) và \(\left( {{x_2}; + \infty } \right)\); \(f\left( x \right)\) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng \(\left( {{x_1};{x_2}} \right)\), trong đó \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của \(f\left( x \right)\) và \({x_1} < {x_2}\).

Đặt \(a+b-c=x;b+c-a=y;a+c-b=z\)

BĐT <=> \(\left(x+y+z\right)^3xyz\le27.\left(\frac{x+z}{2}\right)^2\left(\frac{y+z}{2}\right)^2\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\)

<=> \(64xyz\left(x+y+z\right)^3\le\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\right]^2\)(1)

Xét \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\)

<=> \(9\left[xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)+2xyz\right]\ge8\left[xy\left(x+y\right)+...+3xyz\right]\)

<=> \(xy\left(x+y\right)+xz\left(x+z\right)+yz\left(y+z\right)\ge6xyz\)(luôn đúng )

 vì \(VT\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2.\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge6xyz\)

Khi đó BĐT (1)

<=> \(64.xyz\left(x+y+z\right)^3\le27\left[\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\right]^2\)

<=> \(3xyz\left(x+y+z\right)\le\left(xy+yz+xz\right)^2\)

<=> \(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)(BĐT Cosi) 

=> BĐT được Cm

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Mình có cách khác

bđt đồng bật nên t chuẩn hóa \(a+b+c=1\)

Ta biến doi vế trái về:      \(\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\left[\left(b+c\right)^2-a^2\right]\left[\left(c+a\right)^2-b^2\right]\)

                                 \(=\left[\left(1-c\right)^2-c^2\right]\left[\left(1-a\right)^2-a^2\right]\left[\left(1-b\right)^2-b^2\right]\)

Giờ ta cần chứng minh:\(\left[\left(1-c\right)^2-c^2\right]\left[\left(1-a\right)^2-a^2\right]\left[\left(1-b^2\right)-b^2\right]\le27a^2b^2c^2\)

Ta xét :\(0< a,b,c< \frac{1}{3}\)(*)

\(\Rightarrow a+b+c< 1\) 

vì \(a+b+c=1\)nên (*) vô lý

Ta xét:\(\frac{1}{3}\le a,b,c< 1\)

Đến đây ta thấy giữa các biến có sự riêng biệt nên ta xét:

\(3a^2-\left[\left(1-a\right)^2-a^2\right]=\left(3a-1\right)\left(a+1\right)\ge0\)

 \(\Rightarrow3a^2\ge\left(1-a\right)^2-a^2\)

Tương tự:\(3b^2\ge\left(1-b\right)^2-b^2\)

                \(3c^2\ge\left(1-c\right)^2-c^2\)

nhan các vế bđt lại với nhau ta có điều phải chứng minh

Đến đây ta có thể suy ra điều phải chứng minh

vài lời nhắn:

Mình không chắt về cách xét của mình nữa 

Nub

Đoạn bạn xét \(\frac{1}{3}\le a,b,c< 1\)mà \(a+b+c=1\)

thì chẳng khác nào bạn cho \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

vì vậy đến đoạn  đó bạn không xét như vậy được

2) (2x - 3y)²

= (2x)² - 2.2x.3y + ( 3y)²

= 4x² - 12xy + 9y²

t i c k nhé!!!! 4645757878769698700795783537742637645756756756765

1) giả sử a = 3x ; b = 5y ta có:

  [3x + (-2y)]²

= (3x)² + 2.3x.(-2y) + (-2y)²

= 9x² - 12xy + 4y²

= (3x - 2y)²

2) (2x - 3y)²

= (2x)² - 2.2x.3y + (3y)²

= 4x² - 12xy + 9y²

t i c k nha!!!!! 576767868658769769765474745735733462464575687687685789587

Bạn nên gõ đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người hiểu đề và hỗ trợ tốt hơn nhé.