áp dụng : x^3m+2+x³ⁿ⁺¹+1 luon chia hết cho (x²+x+1) voi71 m,n E N

\(x^{2000}\left(x^2+x+1\right)-\left(x^{2001}-1\right)\)số hạng thứ nhất hiển nhiên chia hết cho A=x^2+x+1 khác 0 với mọi x

xét: \(C=x^{2001}-1\)

Nếu x=1 => C=0 hiển nhiên C chia hết cho A

nếu x khác 1

\(B=\left(1+x+x^2+...+x^{2000}\right)=\frac{\left(x^{2001}-1\right)}{\left(x-1\right)}=\frac{C}{x-1}\)

B có 2001 số hạng chia hết cho 3 => ghép 3 số hạng liên tiếp có

\(B=\left(1+x+x^2\right)+x^3\left(1+x+x^2\right)+x^6\left(1+x+x^2\right)+..+x^{1998}\left(1+x+x^2\right)\)

Hiển nhiên B chia hết cho A

C=B(x-1) chia hết cho A do B chia hết cho A

=> DPCM

Lời giải:

$x^{2002}+x^{2000}+1=(x^{2002}-x)+(x^{2000}-x^2)+(x^2+x+1)$
$=x(x^{2001}-1)+x^2(x^{1998}-1)+(x^2+x+1)$

$=x[(x^3)^{667}-1]+x^2[(x^3)^{666}-1]+(x^2+x+1)$

$=x(x^3-1)[(x^3)^{666}+...+x^3+1]+x^2(x^3-1)[(x^3)^{665}+...+x^3+1]+(x^2+x+1)$
$=x(x-1)(x^2+x+1)[(x^3)^{666}+...+x^3+1]+x^2(x-1)(x^2+x+1)[(x^3)^{665}+...+x^3+1]+(x^2+x+1)$

$=(x^2+x+1)[x(x-1)[(x^3)^{666}+...+x^3+1]+x^2(x-1)[(x^3)^{665}+...+x^3+1]+1]\vdots x^2+x+1$

Ta có:

\(A=x^{2002}-x+x^{2000}-x^2+x^2+x+1=x^{2001}-1.x+x^2.x^{1998}-1+x^2+x+1\)

Lại có:

\(x^{2001}-1\)và \(x^{1998}-1⋮x^3-1⋮x^2+x+1\RightarrowĐPCM\)

Ta thấy \(x^{2002}+x^{2000}+1\) có dạng \(x^{3m+1}+x^{3n+1}+1\)

Ta sẽ đi chứng minh \(x^{3m+1}+x^{3n+1}+1⋮x^2+x+1\)

Thật vậy,ta có:

\(x^{3m+1}+x^{3n+2}+1\)

\(=x^{3m+1}-x+x^{3n+2}-x^2+x^2+x+1\)

\(=x\left(x^{3m}-1\right)-x^2\left(x^{3n}-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)

Mà \(x^{3m}-1⋮x^2+x+1;x^{3n}-1⋮x^2+x+1\) nên \(x^{3m+1}+x^{3n+2}+1⋮x^2+x+1\)