\(x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)\le\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2-\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)-\frac{9}{4}\le0\)

\(\Rightarrow\frac{3-3\sqrt{2}}{2}\le x+y+z\le\frac{3+3\sqrt{2}}{2}\)

Có: 

minA=-1{x+y+z=−√2x=y=z{x+y+z=−2x=y=z  ⇒x=y=z=√23

áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(x-1\right)^2}{z}\frac{z}{4}}=|x-1|=1-x.\)

\(\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(y-1\right)^2}{x}\frac{x}{4}}=|y-1|=1-y.\)

\(\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\frac{y}{4}}=|z-1|=1-z.\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge1-x+1-y+1-z.\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\ge3-\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{4}=3-2-\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.\)

Vậy GTNN của \(A=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}.\)

1. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=xyz và x,y,z>1

Tìm GTNN của P= x-1/y² +y-1/x² + x-1/x²

               ^Giải

Từ gt⇒1xy+1yz+1zx=1⇒1xy+1yz+1zx=1

Theo AM-GM ta có:

P=∑(x−1)+(y−1)y2−∑1y+∑1y2=∑(x−1)(1x2+1y2)−∑1y+∑1y2≥∑(x−1).2xy−∑1y+∑1y2=∑1y+∑1y2−2≥√3∑1xy+∑1xy−2=√3−1P=∑(x−1)+(y−1)y2−∑1y+∑1y2=∑(x−1)(1x2+1y2)−∑1y+∑1y2≥∑(x−1).2xy−∑1y+∑1y2=∑1y+∑1y2−2≥3∑1xy+∑1xy−2=3−1

Dấu = xảy ra⇔x=y=z=1√3

P/S: ĐỀ BÀI TƯƠNG TỰ NÊN BẠN TỰ LÀM NHA !! CHÚC HOK TỐT!

Hoặc sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì ngắn hơn nhiều 

\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\ge\frac{\left(x-1+y-1+z-1\right)^2}{z+x+y}=\frac{\left(x+y+z-3\right)^2}{x+y+z}=\frac{1}{2}..\)

Bạn ơi đề hình như là tìm GTLN 

Xét x/x+1 < = x/x+x+y+z = x/(x+y)+(x+z)

Áp dụng bđt 1/a+b < = 1/4.(1/a + 1/b) với a,b > 0 thì

x/x+1 < = x/4.(1/x+y + 1/x+z) = 1/4.(x/x+y + x/x+z)

Tương tự : y/y+1 < =  1/4.(y/x+y + y/y+z) ; z/z+! < = 1/4.(z/z+x + z/y+z)

=> M < = 1/4.(x/x+y + y/x+y + y/y+z + z/y+z + z/x+z + x/z+x) = 1/4.(1+1+1) = 3/4

Dấu "=" xảy ra <=> x+y+z = 1 và x=y=z <=> x=y=z=1/3

Vậy GTLN của M = 3/4 <=> x=y=z=1/3

k mk nha

\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\).Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:

\(=\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)

\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

\(\ge3-\frac{9}{\left(x+y+z\right)+\left(1+1+1\right)}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1/3

Vậy A min = 3/4 khi x=y=z=1/3

Bỏ chữ "Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz,ta có:"giùm mình,nãy đánh nhầm ở bài làm trước mà quên xóa đi!

À mà để phải là tìm Max mới đúng chứ nhỉ?

Do đó,bạn sửa dòng: \(\ge3-\frac{9}{\left(x+y+z\right)+\left(1+1+1\right)}=\frac{3}{4}\) đến hết thành:

"\(\le3-\frac{9}{\left(x+y+z\right)+\left(1+1+1\right)}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1/3

Vậy A max = 3/4 khi x=y=z=1/3