Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn a + b + c + d = 4.
CMR : \(\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\ge2\)
(Bài này phân tích dưới mẫu nhưng mà đoạn sau lại tương đối khó và mk cx chưa nghĩ ra)
Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn a + b + c + d = 4.
CMR : \(\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\ge2\)
(Bài này phân tích dưới mẫu nhưng mà đoạn sau lại tương đối khó và mk cx chưa nghĩ ra)
dễ thôi
ta có:
\(\frac{a}{1+b^2c}=a-\frac{ab^2c}{1+b^2c};\frac{b}{1+c^2d}=b-\frac{bc^2d}{1+c^2d};\frac{c}{1+d^2a}=c-\frac{cd^2a}{1+d^2a};\frac{d}{1+a^2b}=d-\frac{da^2b}{1+a^2b}\)
áp dụng cauchy ta có:
\(b^2c+1\ge2b\sqrt{c};c^2d+1\ge2c\sqrt{d};d^2a+1\ge2d\sqrt{a};a^2b+1\ge2a\sqrt{b}\)
\(=4-\frac{ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}}{2}\)
theo ông cauchy thì
\(ab\sqrt{c}\le\frac{ab\left(c+1\right)}{2};bc\sqrt{d}\le\frac{bc\left(d+1\right)}{2};cd\sqrt{a}\le\frac{cd\left(a+1\right)}{2};da\sqrt{b}\le\frac{da\left(b+1\right)}{2}\)
\(\Rightarrow4-\frac{ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}}{2}\ge4-\frac{\left(abc+bcd+cda+dab\right)+\left(ab+bc+cd+da\right)}{4}\)
vẫn là ông cauchy nói là \(abc+bcd+cda+dab\le\frac{1}{16}\left(a+b+c+d\right)^3=4\)
\(ab+bc+cd+da=\left(b+d\right)\left(a+c\right)\le\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}=4\)
\(\Rightarrow4-\frac{\left(abc+bcd+cda+dab\right)+\left(ab+bc+cd+da\right)}{4}\ge4-\frac{4+4}{4}=2\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\ge2\left(Q.E.D\right)\)
dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=1
\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\ge\left(a+b+c+d\right)-\frac{ab^2c}{2b\sqrt{c}}-\frac{bc^2d}{2c\sqrt{d}}-\frac{cd^2a}{2d\sqrt{a}}-\frac{da^2b}{2a\sqrt{b}}\)
Kiệt đừng ghi dòng cuối nhé,ko bít nó ở mô ra
mk thực ra ko ko hiểu đoạn abc +bcd + cda + dab thôi còn đoạn kia mk cx làm đc
cho a,b,c>0 và a+b+c+d=4. Chứng minh:
\(S=\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\ge2\)
help me !!!. mk đang cần gấp
\(N=\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{a}{1+b^2c}=a-\frac{ab^2c}{1+b^2c}\)
\(\ge a-\frac{ab^2c}{2b\sqrt{c}}=a-\frac{ab\sqrt{c}}{2}=a-\frac{b\sqrt{ac}\sqrt{a}}{2}\)
\(\ge a-\frac{b\left(ac+c\right)}{4}\).Suy ra \(\frac{a}{1+b^2c}\ge a-\frac{1}{4}\cdot\left(ab+abc\right)\)
Tương tự ta có:
\(\frac{b}{a+c^2d}\ge b-\frac{1}{4}\left(bc+bcd\right)\)
\(\frac{c}{1+d^2a}\ge c-\frac{1}{4}\left(cd+cda\right)\)
\(\frac{d}{1+a^2b}\ge d-\frac{1}{4}\left(da+dab\right)\)
Do đó: \(S=\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\)
\(\ge a+b+c+d-\frac{1}{4}\left(ab+bc+cd+da+abc+bcd+cda+dab\right)\)
\(=4-\frac{1}{4}\left(ab+bc+cd+da+abc+bcd+cda+dab\right)\)
Ta có:
\(ab+bc+cd+da\le\frac{1}{4}\left(a+b+c+d\right)^2=4\)
\(abc+bcd+cda+dab\le\frac{1}{16}\left(a+b+c+d\right)^3=4\)
nên \(S\ge4-\frac{1}{4}\cdot\left(4+4\right)=2\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=c=d=1\)
a) cho x,y,z>0 sao cho xyz=1. CMR \(\frac{x^4y}{x^2+1}+\frac{y^4z}{^{y^2+1}}+\frac{z^4x}{^{z^2+1}}\ge\frac{3}{2}\)
b) cho a,b,c,d>0 sao cho a+b+c+d=4. CMR \(\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2d}\ge2\)
Cho 4 số thực dương a,b,c,d thỏa mãn a+b+c+d = 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = \(\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\)
giỏi thì làm bài nÀY nèk
chứ mấy bác cứ đăng linh ta linh tinh lên online math
Linh ta linh tinh gì. ko biết làm thì tôi mới nhờ mọi người chứ
đây là câu cuối bài khảo sat trg tôi. ko làm được thì đừng phát biểu linh tinh
bạn hiểu nhầm rồi mình bảo mấy cái thằng nó cứ đăng vớ vẩn nên bảo cái bọn đấy làm bài này của bạn đó mà
Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn :
\(\frac{2a+b}{a+b}+\frac{2b+c}{b+c}+\frac{2c+d}{c+d}+\frac{2d+a}{d+a}=6\)
CMR A = abcd là số chính phương.
Cho các số a,b,c,d nguyên dương đôi một khác nhau thỏa mãn :
\(\frac{2a+b}{a+b}+\frac{2b+c}{b+c}+\frac{2c+d}{c+d}+\frac{2d+a}{d+a}=6\)
CMR : abcd là 1 số chính phương
Câu hỏi của Trần Anh Đại nếu ko vào được ib vs tui để biết thêm chi tiết!
Câu hỏi của Trần Anh Đại:bạn tham khảo tại đây!
\frac{a}{1+b^{2}c}+\frac{b}{1+c^{2}d}+\frac{c}{1+d^{2}a}+\frac{d}{1+a^{2}b}\geq 2$
Ta có $\sum \frac{a}{1+b^2c}=\sum \frac{a^2}{a+ab^2c}$
Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có
$\sum \frac{a}{1+b^2c}=\sum \frac{a^2}{a+ab^2c}\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{a+b+c+d+ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b}=\frac{16}{4+ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b}$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b\leq 4$ là suy ra $\sum \frac{a}{1+b^2c}\geq \frac{16}{4+4}=2$
Bất đẳng thức đã cho tương đương $ab.bc+bc.cd+cd.da+da.ab\leq 4$ với $a+b+c+d=4$
Chuyển $\left ( ab,bc,cd,da \right )\Rightarrow (x,y,z,t)$
Ta có $x+y+z+t=ab+bc+cd+ad \leq \frac{(a+b+c+d)^2}{4}=4$
Lại có $ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b=xy+yz+zt+tx \leq \frac{(x+y+z+t)^2}{4} \leq \frac{4^2}{4}=4$
Vậy ta có đpcm
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=d=1$
doc lam sao
cho a,b,c,d >0 thỏa a+b+c+d=4 chứng minh \(\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2a}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\)
Cho \(\frac{a+2c}{b+2d}=\frac{2a+c}{2b+d}\) .
CMR : \(\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d};\frac{2a-c}{2b-d}=\frac{a-2c}{b-2d};\frac{a+2b}{a-b}=\frac{c+2d}{c-d}\)