https://olm.vn/hoi-dap/question/1008119.html

vào đây mà tham khảo

bạn tham khảo bài này nè

https://olm.vn/hoi-dap/question/1008119.html

Câu hỏi của Nguyễn Bá Minh - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

thanh niên này chắc VIP dài quá:))

** Max 

\(A^2=\left(\sqrt{x+y}\cdot1+\sqrt{y+z}\cdot1+\sqrt{z+x}\cdot1\right)^2\)

Theo bunhia ta có:

\(A^2\le\left(1+1+1\right)\left(x+y+y+z+z+x\right)=6\Rightarrow A\le\sqrt{6}\) tại \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

*** Min

Giả sử \(1\ge y\ge x\ge z\)

Ta có:

\(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}\ge\sqrt{y}+\sqrt{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge\sqrt{y\left(x+y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow xz=0\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\z=0\end{cases}}\)

Mặt khác:

\(\sqrt{y}+\sqrt{z+x}\ge\sqrt{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{y\left(z+x\right)}=0\)

Đẳng thức xảy ra \(\orbr{\begin{cases}y=0\\z+x=0\end{cases}}\)

Kết hợp 2 dấu đẳng thức xảy ra thì \(x=z=0;y=1\)

Khi đó 

\(A=\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\)

\(\ge\sqrt{x+y+z}+\sqrt{x+y+z}=2\sqrt{x+y+z}=2\)

Dấu "=" xảy ra tại \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;0\right)\) và các hoán vị.

Em có cách này cho phần min nhưng không chắc lắm..

Min:

Giả sử \(x\ge y\ge z\)

\(A=\sqrt{2\left(x+y+z\right)+2\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+y\right)}}\) (bình phương lên rồi lấy căn:v)

\(\ge\sqrt{2\left(x+y+z\right)+2\Sigma_{cyc}\left(\sqrt{xz}+y\right)}\)

\(=\sqrt{4\left(x+y+z\right)+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)}\ge\sqrt{4\left(x+y+z\right)}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;0;0\right)\) và các hoán vị.

c) theo bunhia ta có:

\(VT^2\le3\left(x+y+y+z+z+x\right)=6\)

\(\Rightarrow VT\le\sqrt{6}\)

bạn giải hẳn ra đc k?

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}+2\sqrt{z-2}=x+y+z\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-1-2\sqrt{y-1}+1\right)+\left(z-2-2\sqrt{z-2}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-1=0\\\sqrt{y-1}-1=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\\\sqrt{z-2}-1=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-1=0\\\sqrt{y-1}-1=0\Leftrightarrow\\\sqrt{z-2}-1=0\end{cases}\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}}\)

vậy \(S=x+y=1+2=3\)

Thử nhé

Vì P là bất đẳng thức đối xứng nên dự đoán điểm rơi \(x=y=z=\dfrac{\sqrt{2021}}{3}\)

Thay vo P ta duoc \(P=4.\sqrt{2021}\)

----------------------------------------------------------

\(P=\sum\dfrac{\left(x+y\right)\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}{z}\)

Cauchy-Schwarz:

\(\Rightarrow\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge\left(z+\sqrt{xy}\right)^2\Rightarrow\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\ge z+\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow P\ge\sum\dfrac{\left(x+y\right)\left(z+\sqrt{xy}\right)}{z}\ge\sum\dfrac{xz+yz+x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{z}=\sum x+y+\dfrac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}\ge\sum x+y+\dfrac{2xy}{z}\)

\(\Rightarrow P\ge2(x+y+z)+2\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\right)\)

Cauchy-Schwarz: \(\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\right)\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\right)\ge\left(\sqrt{\dfrac{xy}{z}.\dfrac{yz}{z}}+\sqrt{\dfrac{yz}{x}.\dfrac{zx}{y}}+\sqrt{\dfrac{zx}{y}.\dfrac{xy}{z}}\right)^2=\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow P\ge2(x+y+z)+2\left(x+y+z\right)=4\left(x+y+z\right)=4\sqrt{2021}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{\sqrt{2021}}{3}\)

Nếu đề bài yêu cầu Max thì đây nhé :)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki , ta có \(A^2=\left(1.\sqrt{x}+1.\sqrt{y}+1.\sqrt{z}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{z}\right)^2\right]=3\left(x+y+z\right)=3\)

\(\Rightarrow\left|A\right|\le\sqrt{3}\Rightarrow0\le A\le\sqrt{3}\)

Vậy MAX A = \(\sqrt{3}\) khi x = y = z = 1/3

Bài này không tìm được MIN nhé.