Cho các số dương a,b,c. Cm đẳng thức \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)
Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)
\(\dfrac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}\)+\(\dfrac{\sqrt{ca}}{b+2\sqrt{ca}}\)+\(\dfrac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}\) ≤ 1 cho a,b,c là 3 số dương. Chứng minh các BĐT sau
-Mình thử trình bày cách làm của mình nhé, bạn xem thử có gì sai sót không hoặc chỗ nào bạn không hiểu thì hỏi mình nhé.
CMR với bất kì các số thực dương a,b,c sao cho a+b+c=ab+bc+ac , bất đẳng thức sau đây xảy ra :
\(3+\sqrt[3]{\dfrac{a^3+1}{2}}+\sqrt[3]{\dfrac{b^3+1}{2}}+\sqrt[3]{\dfrac{c^3+1}{2}}\le2\left(a+b+c\right)\)
Cho các số dương a,b,c .Chứng minh rằng bất đẳng thức
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d}}+\sqrt{\dfrac{c}{d+a}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b}}\)\(\ge2\)
Đặt: A=a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+a)+d/(a+b)
. B=b/(b+c)+c/(c+d)+d/(d+a)+a/(a+b)
. C=c/(b+c)+d/(c+d)+a/(d+a)+b/(a+b)
Ta có: B+C=4
Áp dụng Cosôsi và BĐT quen thuộc: 1/x+1/y >= 4/(x+y) với x,y dương ta có:
A+B=(a+b)/(b+c)+(b+c)/(c+d)+
+(c+d)/(d+a)+(d+a)/(a+b) >=4
A+C =(a+c).[1/(b+c)+1/(d+a)] +(b+d).[1/(a+b)+1/(c+d)]
>= 4(a+c)/(b+c+d+a) +4(b+d)/(a+b+c+d)=4
Do đó : 2A+B+C >= 8
Mà B+C=4 nên A >= 2
1.a,b,c là các số thực dương. CM \(\left(\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{\sqrt{bc}}{\sqrt{b+c}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+c}}\right)\le2\)
2. x,y là các số nguyên sao cho \(x^2-2xy-y^2\) ;\(xy-2y^2-x\) đều chia hết cho 5Chứng minh \(2x^2+y^2+2x+y\) cũng chia hết cho 5
3. cho \(a_1a_2...a_{50}\) là các số nguyên thoả mãn \(1\le a_1\le a_2...\le a_{50}\le50;a_1+a_2+...+a_{50}=100\) chứng minh rằng từ các số đã cho có thể chọn đc một vài số có tổng là 50
cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn \(b=\dfrac{c+a}{2}\).
Tính giá trị của biểu thức \(P=\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\right).\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
Ta có : \(b=\dfrac{c+a}{2}\Rightarrow2b=c+a\Rightarrow a-b=b-c\)
Dó đó : \(P=\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
\(P=\left[\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}+\dfrac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)}\right]\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
\(P=\left[\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}+\dfrac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}\right]\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
\(P=\left[\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{b-c}+\dfrac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}\right]\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\) Vì \(\left(a-b=b-c\right)\)
\(P=\left[\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}\right]\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
\(P=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{b-c}\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
\(P=\dfrac{a-c}{a-b}=\dfrac{a-c}{a-\dfrac{a+c}{2}}=\dfrac{a-c}{\dfrac{2a-a-c}{2}}=\dfrac{a-c}{\dfrac{a-c}{2}}=2\)
Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức \(6a+3b+2c=abc\)
➢Tìm giá trị lớn nhất của \(Q=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{2}{\sqrt{b^2+4}}+\dfrac{3}{\sqrt{c^2+9}}\)
\(6a+3b+2c=abc\Leftrightarrow\dfrac{2}{ab}+\dfrac{3}{ac}+\dfrac{6}{bc}=1\)
Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{2}{b};\dfrac{3}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
\(Q=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+1}}+\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{4}{y^2}+4}}+\dfrac{3}{\sqrt{\dfrac{9}{z^2}+9}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\dfrac{y}{\sqrt{y^2+1}}+\dfrac{z}{\sqrt{z^2+1}}\)
\(Q=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+xy+yz+zx}}+\dfrac{y}{\sqrt{y^2+xy+yz+zx}}+\dfrac{z}{\sqrt{z^2+xy+yz+zx}}\)
\(Q=\dfrac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{y}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+\dfrac{z}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)
\(Q\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{x+z}+\dfrac{z}{y+z}\right)=\dfrac{3}{2}\)
\(Q_{max}=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(\sqrt{3};2\sqrt{3};3\sqrt{3}\right)\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\). Chứng minh rằng:\(\dfrac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{b+c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{c+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\le4\left(\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{b}}+\dfrac{\left(\sqrt{b}-1\right)^2}{\sqrt{c}}+\dfrac{\left(\sqrt{c}-1\right)^2}{\sqrt{a}}\right)\)
1, Cho a, b, c là 3 số dương. CMR:
a, \(\dfrac{a}{\sqrt{a+b}\sqrt{a+c}}+\dfrac{b}{\sqrt{a+b}\sqrt{b+c}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+c}\sqrt{b+c}}\le\dfrac{3}{2}\)
b, \(\dfrac{a}{\sqrt{a+b}\sqrt{b+c}}+\dfrac{b}{\sqrt{a+c}\sqrt{b+c}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+c}\sqrt{b+a}}\ge\dfrac{3}{2}\)