\(S=\left(n^2+n-1\right)^2-1\)

\(S=\left(n^2+n-1\right)^2-1^2\)

\(S=\left(n^2+n-1-1\right)\left(n^2+n-1+1\right)\)

\(S=\left(n^2+n-2\right)\left(n^2+n\right)\)

\(S=n\left(n+1\right)\left(n^2+2n-n-2\right)\)

\(S=n\left(n+1\right)\left[n\left(n+2\right)-\left(n+2\right)\right]\)

\(S=n\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)\)

Dễ thấy S là tích của 4 số nguyên liên tiếp, do đó S chia hết cho 24 ( đpcm )

\(S=\left(n^2+n-1\right)^2-1\)

    \(=\left(n^2+n-1\right)^2-1^2\)

    \(=\left(n^2+n-1-1\right)\left(n^2+n-1+1\right)\)

     \(=\left(n^2+n-2\right)\left(n^2+n\right)\)

      \(=\left(n^2-n+2n-2\right)\left(n^2+n\right)\)

        \(=\left[n\left(n-1\right)+2\left(n-1\right)\right]\left(n+1\right).n\)

        \(=\left(n-1\right)\left(n+2\right)\left(n+1\right)n\)

          \(=\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Tích của 4 số liên tiếp luôn chia hết cho 24

\(\Rightarrow S⋮24\)

a) \(\left(n+6\right)^2-\left(n-6\right)^2\)

\(=\left[\left(n+6\right)-\left(n-6\right)\right]\left[\left(n+6\right)+\left(n-6\right)\right]\)

\(=\left(n+6-n+6\right)\left(n+6+n-6\right)\)

\(=12.2n\)

\(=24n\)

Vì 24n chia hết cho 24 với mọi n

=> (n + 6)² - (n - 6)² chia hết cho 24 với mọi n thuộc Z (Đpcm)

b) P/s: Bài này cậu thiếu điều kiện n lẻ nên mình thêm vào mới giải được nha.

\(n^2+4n+3\)

\(=n^2+n+3n+3\)

\(=n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n+1\right)\)

Vì n là số lẻ nên n = 2k + 1 ( k thuộc Z )

Thay n = 2k + 1 vào ta được

\(\left(n+3\right)\left(n+1\right)\)

\(=\left(2k+1+3\right)\left(2k+1+1\right)\)

\(=\left(2k+4\right)\left(2k+2\right)\)

\(=2\left(k+2\right)2\left(k+1\right)\)

\(=4\left(k+2\right)\left(k+1\right)\)

Vì (k + 2)(k + 1) là tích của hai số liên tiếp

=> (k + 2)(k + 1) chia hết cho 2

=> 4(k + 2)(k + 1) chia hết cho 8

=> n² + 4n + 3 chia hết cho 8 với mọi số nguyên n lẻ ( Đpcm )

c) \(\left(n+3\right)^2-\left(n-1\right)^2\)

\(=\left[\left(n+3\right)-\left(n-1\right)\right]\left[\left(n+3\right)+\left(n-1\right)\right]\)

\(=\left(n+3-n+1\right)\left(n+3+n-1\right)\)

\(=4\left(2n+2\right)\)

\(=4.2\left(n+1\right)\)

\(=8\left(n+1\right)\)

Vì 8(n + 1) chia hết cho 8 với mọi n

=> (n + 3)² - (n - 1)² chia hết cho 8 với mọi n ( Đpcm )

\(n^4-1=\left(n^2\right)^2-1^2=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

n lẻ  

=> n - 1 và n + 1 chẵn

Tích của 2 số chẵn liên tiếp sẽ chia hết cho 8

=> Biểu thức trên chia hết cho 8 với mọi n lẻ (đpcm)

ai giải giúp mình bài 2 và bài 3 với

+ Do n không chia hết cho 3 => 4n không chia hết cho 3; 3 chia hết cho 3 => 4n + 3 không chia hết cho 3 => (4n + 3)² không chia hết cho 3

=> (4n + 3)² chia 3 dư 1 (1)

+ Do 4n + 3 lẻ => (4n + 3)² lẻ => (4n + 3)² chia 8 dư 1 (2)

Từ (1) và (2); do (3;8)=1 => (4n + 3)² chia 24 dư 1

Mà 25 chia 24 dư 1

=> (4n + 3)² - 25 chia hết cho 24 ( đpcm)

Nếu n chẵn

=> n²-1 lẻ

=> không chia hết cho 24 (1)

Nếu n chia hết cho 3

=> n² chia hết cho 3

=> n²-1 không chia hết cho 3

=> n²-1 không chia hết cho 24 (2)

Từ (1) và (2) 

=> đpcm

bn ... ơi...mik ...bỏ...cuộc ...hu...hu

. Huhu T^T mong sẽ có ai đó giúp mình "((