Bổ đề : Số chính phương chia 5 chỉ dư 1 và 4 (bạn tự CM)
Ta dễ dàng thấy 5^2p + 2013 chia 5 dư 3 (vế trái chia 5 dư 3)                                                            (1)
Từ bổ đề ta có q^2 chia 5 dư 1 hoặc 4 mà 5^2p^2 chia hết cho 5 nên vế phải chia 5 dư 1 hoặc 4 (2)
Từ (1) và (2), ta thấy sự mâu thuẫn
Vậy không có p q nguyên tố thoả mãn đề bài

k nhé

Câu hỏi của FFPUBGAOVCFLOL - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Bạn tham khảo nhé

\(p^2-2q^2=1\)

\(\Rightarrow p^2=2q^2+1\)

\(\Rightarrow p\) là số lẻ

Đặt \(p=2n+1\Rightarrow p^2=4n^2+4n+1\)

mà \(p^2=2q^2+1\)

\(\Rightarrow4n^2+4n+1=2q^2+1\)

\(\Rightarrow2\left(2n^2+2n\right)=2q\)

\(\Rightarrow2n^2+2n=q\)

\(\Rightarrow2\left(n^2+n\right)=q\)

\(\Rightarrow q\) là số chẵn

mà \(q\) là số nguyên tố

\(\Rightarrow q=2\)

\(\Rightarrow p^2=2.2^2+1=9\Rightarrow p=3\)

Vậy \(\left(p;q\right)\in\left\{3;2\right\}\) thỏa mãn đề bài

Ta có: \(p^2-2q^2=1\)

Do 1 là số lẻ nên \(2q^2\) chẵn và \(p\) lẻ  

\(\Rightarrow p^2-1=2q^2\)

\(\Leftrightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)=2q^2\)

Mà \(p\) lẻ nên \(p+1,p-1\) đều là chẵn 

\(\Rightarrow\left(q-1\right)\left(q+1\right)\) ⋮ 4

\(\Leftrightarrow q^2\) ⋮ 2 \(\Rightarrow q\) ⋮ 2 \(\Rightarrow q=2\)

\(\Rightarrow p^2=2\cdot2^2+1=9\Rightarrow q=3\)

Vậy: (q;p) là (2;3)

⇔ @Phong cho mình hỏi đây là gì ạ

Có:

\(2x^2+1=y^2-yx^2\)

<=> \(x^2\left(y+2\right)=\left(y-1\right)\left(y+1\right)\)

=> \(x^2\left(y+2\right)⋮\left(y+1\right)\)mà y+1 và y+2 là hai số nguyên liên tiếp nên nguyên tố cùng nhau

=> \(x^2⋮\left(y+1\right)\)

Đặt: \(x^2=\left(y+1\right)t\)( t thuộc Z)

Ta có phương trình : \(t\left(y+2\right)=y-1\)

,+) Với y=-2 => y+2 =0 => y-1 =0 => y=1 vô lí

+) Với y khác -2

Chia ca hai vế cho y+2 ta có:

\(t=\frac{y-1}{y+2}=1-\frac{3}{y+2}\)

Tìm y để t thuộc Z

Ta có: y+2 thuộc U(3)={-3; -1; 1; 3}

+) y+2 =-3 => y=-5 => t=2 => x^2 =(y+1)t= -8 ( loại)

+) y+2 =-1 => y=-3 => t=2 => x^2 =(y+1)t= -4 ( loại)

+) y+2=1  => y=-1 => t=-2 => x^2= 0  => x=0 

+) y+2 =3 => y=1 => t=0 => x^2 =0  => x=0

THử lại thấy x=0; y=1 và x=0 ;y=-1 thỏa mãn

Vậy ...